Перспектива геометрия: Перспектива — геометрия и искусство
Перспектива — геометрия и искусство
Центральное проектирование, или перспектива, как наука возникла еще в Древней Греции. Первые упоминания о ней встречаются в работах Эсхила (525—456 гг. до н. э.). Значительное место изображению пространственных фигур с использованием перспективы уделено в трактате «О геометрии» известного мыслителя и ученого Демокрита (ок. 460—370 гг. до н. э.).
Следующее упоминание о перспективе находим в работах Евклида. Помимо своих знаменитых «Начал» он написал много других сочинений. В том числе, в работе «Оптика» Евклид с позиций геометрии подробно изложил природу человеческого зрения, того, как получается изображение различных предметов на сетчатке глаза. . Евклид ввел также постулат о том, что кажущиеся размеры предмета зависят от угла, под которым он виден.
Самыми значительными работами по перспективе древнегреческого периода считаются произведения римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона.
Следующим важным этапом в развитии теории перспективы стала эпоха Возрождения. Теоретиком перспективы считают итальянского архитектора Филиппо Брунеллески (1377—1446), а практиками, воплотившими ее достижения в своих полотнах, — великих Леонардо да Винчи (1452—1519), Альбрехта Дюрера (1471—1528) и многих других художников, скульпторов, архитекторов Возрождения.
А. Дюрер предложил в своих книгах несколько устройств, позволяющих получать перспективу, некоторые из которых он изобразил на своих гравюрах.
Леонардо да Винчи в своем произведении «Трактат о живописи» делит перспективу на три основные части:
1. Линейная перспектива, которая изучает законы уменьшения фигур по мере удаления их от наблюдателя.
2. Воздушная и цветовая перспектива, которая трактует изменение цвета предметов в зависимости от их расстояния до наблюдателя и влияния слоя воздуха на насыщенность и локальность цвета.
3. Перспектива четкости очертания формы предмета, в которой анализируется изменение степени отчетливости границ фигур и контраста света и тени на них по мере удаления их в глубину пространства, изображаемого на картине.
Два последних раздела не получили дальнейшего теоретического развития из-за сложности исследования проблемы. Первый же раздел развился в точную науку — линейную перспективу, которая позднее вошла как составная часть в начертательную геометрию.
Основателем этого раздела геометрии считают французского ученого, геометра, инженера и активного общественного деятеля Великой французской революции Гаспара Монжа (1746—1818). Его книга «Начертательная геометрия», изданная в 1795 году, явилась первым систематизированным изложением методов изображения пространственных фигур на плоскости.
Более 20 лет вел поиск способа овладения видением натуры на основе законов перспективы известный русский художник А. Г. Венецианов (1780— 1847). Он считал, что обучение художественным навыкам необходимо начинать с изучения законов перспективы, которую художник рассматривал как метод изображения реальных предметов в конкретной обстановке.
Большое значение придавал изучению перспективы замечательный русский художник и педагог Н. Н. Ге (1831—1894). Обращаясь к своим ученикам, он говорил: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите ее в работу, в рисование. Никогда не отделяйте ее от рисования, как это делают многие, т. е. рисуют по чувству, а потом поправляют правилами перспективы — напротив, пусть перспектива у вас будет всегдашним спутником вашей работы и стражем верности».
/Смирнова И.М. Геометрия. Учебник 10-11кл. — М: Мнемозина, 2004/
Перспектива — геометрия в изобразительном искусстве
Область исследования: Геометрия в изобразительном искусстве, методы перспектив.
Тема исследования: Перспектива как способ изображения фигур на плоскости.
Цель исследования: Выяснить для чего художники пользуются методом построения перспективы. Нужно ли это им?
Гипотеза: Возможно, построение перспективы помогает более реалистичнее отражать мир вокруг нас.
Задачи:
- Дать пояснение методу перспективы.
- Рассмотреть различные методы перспективы в изобразительном искусстве.
- Выяснить как применяется в изобразительном искусстве.
- Привести примеры с использованием данного метода.
- Провести анализ полученных данных.
Методы исследования: Теоретический анализ и обобщение научной литературы и материалов сети Internet.
Ход исследования: Изучив различные статьи в сети Интернет и некоторую литературу можно раскрыть сущность данного метода. Сущность данного метода, разработанного Дюрером (1471-1528), заключается в том, что картинная плоскость занимает либо фронтальное положение в ортогональных проекциях, либо профильное, а перспектива точки пространства определяется как картинный след луча зрения, проходящего через эту точку.
Геометрический способ предполагает перспективное изображение, полученное путем проведения лучей к точкам изображаемого объекта из любой точки Евклидова пространства – из так называемого центра перспективы.
Перспективные изображения параллельных прямых пересекаются в точках схода, а параллельных плоскостей – в так называемых линиях схода.
С течением истории люди открывали новые типы изображения в перспективе. Одни позднее признавались ложными, другие — только укрепились в своих понятиях, а третьи и вовсе слились в некий новый подвид. В изобразительном искусстве перспективы делятся на несколько групп. Это зависит от их назначения. На настоящий момент выведены:
- прямая линейная перспектива;
- обратная линейная;
- панорамная;
- сферическая;
- перцептивная.
Каждый из видов перспективы в изобразительном искусстве значительно отличается друг от друга как визуально, так и по смысловому наполнению и назначению, так что заслуживает быть рассмотренным подробнее в презентации.
В ходе исследования я провела опрос, представленный ниже.
По итогу опроса я сделала вывод, что большее количество людей так же считают необходимостью использования художником метода построения перспективы для лучшего отражения реальности.
Вывод: Различные методы построения перспективы используются в искусстве очень активно, при этом для каждого стиля применяются как один, так и несколько методов. Тем самым, чтобы нарисовать уходящую в даль дорогу, художнику необходимо применить метод построения перспективы. Если творец изображает все хаотично и «на глаз» , сейчас это новизна, что-то особое. Но разве такие картины передают всю реальность? Я считаю, что в наше время должны рисоваться более реалистичные картины, чтобы перед глазами наших потомков были приятные изображения реальных предметов. Теперь на вопрос «Нужна ли геометрия художникам?» я однозначно могу сказать — ДА!
опрос https://www.mentimeter.com/s/c32b898cbac9a4455d7c2043edf8c6d2/d40c1e823f58/edit
Источники:
Виды перспектив
Википедия/перспектива
Перспектива в изо
комикс
Ресурсы проекта:
презентация
тизер
Перспектива (геометрия) — это.
.. Что такое Перспектива (геометрия)?Перспектива (значения) — Перспектива неоднозначное слово: Перспектива Перспектива (тип улицы) Перспектива (геометрия) Перспектива (центр анимационного творчества) Перспектива (иносказательно) представление предполагаемых событий (Перспективы на будущее.… … Википедия
перспектива — ы, ж. perspective f. 1. Даль, пространство, охватываемое глазом. БАС 1. Подгнившие избушки снесены, и на место их выстроены новые с веселыми перспективами и романическими перистилями . Данилевский Ек. Великая. // ПСС 18 6. || Вид, панорама чего л … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Перспектива — (франц. perspective, от лат. perspicio ясно вижу) система изображения объёмных тел на плоскости или какой либо иной поверхности, учитывающая их пространственную структуру и удалённость отдельных их частей от наблюдателя. … … Большая советская энциклопедия
Перспектива — У этого термина существуют и другие значения, см.
Перспектива (значения). Пример перспективы в фотографии. «Блошиный рынок в Москве, вид с моста до станции … Википедия
Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ПЕРСПЕКТИВА — с центром S отображение плоскости p в плоскость p , при к ром каждой точке Мплоскости p ставится в соответствие точка М пересечения прямой SM с плоскостью p (если прямая SM не параллельна плоскости p ; см. рис.). В проективной геометрии П.… … Математическая энциклопедия
Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости. … … Большая советская энциклопедия
Начертательная геометрия*
Начертательная геометрия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. При обыкновенном способе изображения предметов линии,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Макаров, Николай Иванович — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Макаров (фамилия). Николай Иванович Макаров (1824 1904) преподаватель математики. Содержание 1 Биографические вехи 2 Труды … Википедия
Перспектива-геометрия живописи.
Агеева Полина,11б | Проект по геометрии (11 класс) на тему:Название проекта: Перспектива — геометрия живописи.
Авторы и участники проекта:
Агеева И.А., учитель математики
Ченцова Дарья, ученица 11А класса
Гипотеза исследования:
Живопись ,как искусство неразрывно связанно с математическими законами
Цель исследования: Выяснить роль геометрии в живописи
Задачи проекта:
Рассмотреть приемы передачи окружающего мира на двухмерную плоскость картины.
Проследить историю развития геометрии живописи.
Исследовать геометрию в картинах художников родного города.
Методы исследования: сбор информации, изучение литературы, анализ.
Практическая значимость:
данный материал можно использовать для привития интереса к математике; способствует формированию представления о прикладных возможностях математики, её связи с живописью.
Результаты исследования:
Презентация «Перспектива -геометрия живописи»
Вывод: Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой.
Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.
Полезные ресурсы:
1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год
2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,
1992 год.
3. А.Г.Яблонский «Линейная перспектива на плоскости», Москва, 1966 год
4. М.Н.Макарова «Перспектива», Москва, 1989 год.
5. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва, Издательский дом «Дрофа», 1998 год.
6. DVD Tsarskoe selo Master Video, 2004
7. CD Microsoft Office at school
Введение.
Почему я выбрала тему: «Геометрия и живопись «?
Услышав слова: «Без геометрии живопись мертва», я решила сама убедиться в этом. Решила узнать, действительно ли это так.
Роль живописи в наши дни возрастает. Живопись не только отражает жизнь, но и формирует её. Она взывает нас к совести, побуждает задуматься, как мы живём, как поступаем, делает человеческую душу богаче, обращает к красоте. А красота ведёт человека к доброте. Я ничуть не сомневаюсь в словах Достоевского: «Красота спасёт мир». Поэтому мне захотелось выяснить, какова же роль геометрии в живописи.
Математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая — аналитическая, вторая — эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, есть художники ,которые редко или вообще никогда не используют перспективу. Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.
Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.
На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни.
Перспектива- геометрия живописи
Люди издавна научились отображать всевозможные объекты окружающего их трёхмерного мира на двумерную плоскость картины.
Какие же основные возможности имеются в решении задачи отображения трёхмерного пространства на двумерную плоскость?
В основе геометрии лежит метод проекций, сущность которого такова. В пространстве выбирают фиксированную точку-центр проектирования и плоскость проекции (картинную плоскость), не проходящую через центр проектирования.
Для получения изображения- проекции- объекта на плоскость проекции через центр проекции и каждую точку объекта проводят проектирующие лучи до пересечения с картинной плоскостью.
Совокупность точек пересечения проектирующих лучей с плоскостью проекции и даст изображение объекта, которое называют центральной проекцией.
Когда центр проектирования уходит в бесконечность, тогда проектирующие лучи становятся параллельными между собой. Считая центр проектирования расположенным в бесконечно удалённой точке, мы приходим к важному случаю центрального проектирования — параллельному проектированию.
Важным частным случаем параллельных проекций являются ортогональные проекции, когда проектирующие лучи ортогональны картинной плоскости, то есть образуют прямые углы с плоскостью проекций.
Перспектива открыла перед живописцами небывалые возможности. Впервые у художников появился геометрический метод изображения не отдельного предмета, а всего видимого трёхмерного пространства, всего окружающего мира.
Художнику прежде всего необходимо иметь ясное представление о линии горизонта, так как с ней связаны все перспективные построения. Линия перспективного горизонта всегда находится на уровне глаз. Как её определить? Если налить в стакан воды и поднести к глазам, то поверхность воды в стакане будет иметь форму эллипса, если смотреть на неё сверху или снизу. Чем ближе эллипс к перспективному горизонту, тем сильнее он сплющен. А на уровне глаз он сольётся в одну прямую линию, совпадающую с географическим горизонтом. Все удаляющиеся от нас горизонтальные параллельные линии всегда кажутся нам сходящимися на горизонте. Место их пересечения называется точкой схода. Точка схода параллельных линий, которые находятся под прямым углом к горизонту, всегда расположена против глаз и называется главной.
Для каждой группы параллельных прямых, где бы они не находились и каким бы предметам не принадлежали, существует только одна точка схода.
Перспектива заняла ведущее место в живописи. Она оказалась лучшим из приёмов передачи окружающего мира. Композиция картины стала строго симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через главную точку , а образы параллельных линий, сходящиеся к главной точке, привели зрителя в эту точку.
Если художнику необходимо создать серьёзную композицию, то без серьёзных знаний линейной перспективы никак не обойтись.
Перспектива — это только геометрическая основа живописи. Но эта основа будет мертва, если художник не вложит в неё частичку своей души.
Геометрия и живопись: страницы истории
Геометрия является связующим стержнем, который проходит через всю историю живописи.
В самом деле, существуют три принципиальных геометрических метода отображения трёхмерного пространства на двумерную плоскость картины: метод ортогональных проекций, аксонометрия и перспектива.
Все принципиальные возможности изображения пространства на плоскость были реализованы в живописи, причём в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил своё наиболее выражение.
Система ортогональных проекций составила геометрическую основу живописи Древнего Египта, аксонометрия (параллельная перспектива) характерна для живописи средневекового Китая и Японии; обратная перспектива- для икон Византии и Древней Руси; прямая перспектива- это геометрический язык живописи европейского искусства .
Ортогональные проекции – аксонометрия — перспектива. Именно по такой схеме шло развитие геометрии живописи.
Метод ортогональных проекций как наиболее простой занял в ней первое место. Но ортогональные проекции никак не передавали глубину реального пространства, поэтому уже в искусстве Древнего Египта появлялись робкие ростки аксонометрии. Аксонометрия передавала без искажений фронтальную плоскость изображаемого предмета, она давала представление о глубине пространства, хотя и трудно было понять, какова эта глубина.
Недостатки аксонометрии в передаче глубины пространства были исправлены в ренессансной системе перспективы, построенной с учётом геометрических закономерностей зрения, наиболее точно передающей видимый мир.
Таким образом, каждый из этих трёх методов был очередным этапом в развитии искусства живописи, новой ступенью в поисках более точной и совершенной системы передачи зрительных ощущений.
В зависимости от задач художник выбирает ту или иную систему перспективы.
Перспектива в картинах современного художника Вячеслава Курсеева.
Исследуя перспективу геометрии в живописи я обратилась к картинам художников родного края. Просмотрев множество картин наших художников я остановилась на творчестве только одного , так как на картинах этого художника лучше всего прослеживается перспектива геометрии. Я решила поближе узнать о творчестве современного художника Вячеслава Курсеева.(род.1965 году. г.Саратов)В детстве посещал Художественную Школу. В 1982 году поступил в Саратовское Художественное Училище им. Боголюбова, которое успешно окончил по специальности – художник-оформитель. Затем в МВХПУ (б. Строгановское). Закончив первый курс, уехал в Прагу, затем в 1992 году в Стокгольм, прервав обучение в институте.
В Швеции работал в течение двенадцати лет. Сотрудничал с несколькими галереями. Провёл несколько персональных и совместных выставок в Стокгольме. Картины этогопериода находятся в здании шведского парламента, а также в частных коллекциях ценителей современной живописи. Последние шесть лет основная тема творчества — родной город Саратов.
На картинах художника саратовские здания изображены такими, какими они были сто лет назад. Каждая картина – это достоверная художественно-историческая реконструкция. При их написании он изучал архивные документы, старинные фотографии и открытки. Предпочтительная техника – акварель, масло.
Заключение.
Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.
Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.
Перспектива (геометрия)
Пользователи также искали:
линейная перспектива, перспектива — геометрия живописи, перспектива в архитектуре, перспектива в геометрии и искусстве, виды перспективы, воздушная перспектива — это, законы перспективы, Перспектива, перспектива, перспектива это, перспективы, законы перспективы, перспектива в геометрии и искусстве, перспектива в архитектуре, виды перспективы, линейная перспектива, живописи, геометрия, законы, геометрии, искусстве, архитектуре, виды, воздушная, линейная, Перспектива геометрия, воздушная перспектива — это, перспектива — геометрия живописи, перспектива (геометрия), cтатьи по математике. перспектива (геометрия),
Начертательная геометрия. Линейная перспектива. (Лекция 6-7)
1. Линейная перспектива
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯЛекция 6
Линейная перспектива
Направление
обучения –
«Архитектура»
1
2
3
4
Перспективой называют центральную проекцию объекта,
на которую наложены ограничения, связанные с особенностями зрительного восприятия глаза человека.
Перспектива обладает наилучшей наглядностью, так как
передает то, что видит глаз человека — кажущиеся изменения размеров и очертаний объекта, которые обусловлены
его положением в пространстве и удаленностью от наблю5
дателя.
6. Виды перспективы
На плоскости – линейная перспектива.Если плоскость расположена
горизонтально, то перспектива плафонная
(для росписи потолков).
На цилиндрической поверхности –
панорамная перспектива.
На сферической поверхности – купольная
перспектива.
6
7. Система плоскостей линейной перспективы
Пк П 1H II П1
Пк ∩ Н = h
Пк ∩ П1 = О1О2
S H
S1 П1
7
8. Общий принцип построения перспективы точки
SA ∩ Пк = АкАк – перспектива точки А
SA1 ∩ Пк = А1к А1к – вторичная проекция точки А
АкА1к О1О2
8
9. Перспектива точек предметного пространства
Если точка принадлежит картине, то ее вторичная проекция лежитна основании картины
А Пк А1к О1О2
9
Вторичная проекция несобственной точки пространства лежит
на линии горизонта
F ≡ F F 1к h
10
11. Перспектива прямой
11В перспективе прямая
(например, m) задается двумя
точками – m (N, F∞).
Точка N – начало прямой.
Принимается точка
пересечения прямой с
картинной плоскостью.
N = m ∩ Пк
Точка F∞ — несобственная
точка.
N Пк Nк ≡ N N1к O1O2;
F∞ F1к h.
F2k
s2
S2
N2k
m2
х12
s1
P1
m1
F1k
S1
N1k
Пк1
Чтобы получить (увидеть)
несобственную точку F∞,
принадлежащую прямой m,
находясь в точке зрения S,
необходимо направить луч зрения
параллельно прямой m.
Точка F∞k пересечения луча s с
картинной плоскостью Пk и будет
изображением несобственной точки
F∞.
S s, s II m и s ∩ Пk = F∞k
Чтобы получить точку N начала
прямой m, необходимо продолжить
прямую до пересечения с
картинной плоскостью
m ∩ Пк= N
14
F2k
s2
S2
m2
Fk
c
P F1k
d
а
а
m1k
d
s1
P1
m1
O
F1k
b
h
Nk
c
х12
mk
N1k
1
P1
b
O
Пк1
S1
15
2
По положению точки F k относительно линии горизонта
можно судить о положении прямой
m относительно
∞
предметной плоскости.
Если F k выше линии горизонта, то прямая восходящая.
Если F k ниже линии горизонта, то прямая нисходящая.
Если F k лежит на линии горизонта, т.е. F k ≡ F 1k , то прямая
является горизонталью.
FK
h
O
восходящая
mK
нисходящая
h F 1K
Р
F 1K
1
NК
m 1K
FK
2
Р1
а)
N 1К
mK
m 1K
Р1
б)
Р
N 1К
N 1К
д)
Р
h
O
2
O
1
h
Р
m 1K
1
е)
перпендикулярна
картине
F K F 1K Р
h
NК
m 1K
2
O O1
Р1
N 1К
в)
горизонтальнопроецирующая
параллельна
картине
mK
F 1K
m 1K
Р1
m 1K
O O1
?
O
NК
mK
Р
2
O O1
m K F N
K
K
1
F K F 1K
Р
проецирующая
h
горизонталь
2
O
Р1 O Р1 Р1
mK
h
NК
O
г)
mK
m 1K
2
NO
1К
ж)
16
2
17. Взаимное положение прямых
1718. Деление отрезка в заданном отношении
19. Положение картинной плоскости и точки зрения относительно объекта
1920. Способы построения перспективы
2021. Построение перспективы точки
2122. Метод «архитекторов»
Данный метод построения линейнойперспективы основан на использовании
точек схода пучков параллельных между
собой прямых.
22
23. Использование двух точек схода
2324
25
26
27
28
29. Использование одной точки схода
2930
31
32
33
34
35
36
Перспектива — геометрия живописи — Интерактивные учебные ситуации
Мои глаза художниками стали:
Холстом мое, взяв сердце, рамой — грудь,
Они портрет твоей красы создали,
Где перспектива — живописи суть.
У. Шекспир, Сонет 24
Прослушайте небольшой рассказ учителя о развитии пространственного трехмерного изображения в изобразительном искусстве.
Подумайте и ответьте на вопросы:
Геометрия — это живопись?
Живопись — это чистая геометрия? Что такое «Перспектива»?
Так что же, овладев геометрией перспективы, каждый может стать художником?
Какова же была цель художников при изображении пространства?ТЕМА УРОКА:
ЦЕЛЬ УРОКА :
Приведите, пожалуйста, примеры, где вы наблюдали подобные явления?
Посмотрите видеосюжет:
РИСУНКИ НА АСФАЛЬТЕ . Художник Джулиан Бивер рисует с применением анаморфного проектирования.
Видео рисунки на асфальте.wmv
Ответьте на вопросы:
Как вы думаете, как художник получает такой эффект?
Есть ли при съемке такого рисунка определенные правила?
А что получится, если «сломать» перспективу в своем рисунке?
Объясните, пожалуйста, это одно изображение или два совершенно разных?
Если одно, то как его возможно получить?
Знакомимся с основными видами перспектив, фиксируем полученную информацию в тетради.
Подготовка к самостоятельной работе.
Индивидуальная работа обучающихся:
Подготовить к уроку небольшие доклады по темам:
1. Сферические миры Дика Термеса;
2. Роспись пасхальных яиц;
3. Пасхальные яйца Фаберже;
4. История елочной игрушки.
Музей
— панорама
Бородинская Панорама.mp4
Музей панорама «Севастопольская битва» г. Севастополь
Севастопольская Панорама.mp4
Ребята, скажите, а в вашем городе есть панорамная перспектива?
Сферические миры Дика Термеса
Скажите, пожалуйста, где в быту мы сталкиваемся с росписью на сфере?Итак, наш класс превращается в мастерскую художника.
Следите за осанкой, пусть ваше тело будь свободно, не напрягайте; соблюдайте гигиену зрения и приступайте к работе.
Практическая работа.
Построение аксонометрической проекции куба, (автор С. Петровских)
(Корректное отображение презентации)
Приготовьте для работы: альбомный лист, карандаш, линейку простую, линейку-треугольник, ластик. Внимательно следите за действиями виртуального учителя и постарайтесь выполнить все действия своевременно.
Построение аксонометрической проекции куба.ppt
Построение аксонометрической проекции куба.ppt
Самостоятельная работа. Проверка в парах.
ИТОГ УРОКА:
Поэтому второй урок – это практическая работа по построению трехмерного городского пейзажа с двумя точками исхода.
Элементарная перспектива. Городской квартал. Джон Хаган.
Выставка рисунков всех участников урока.
Проективная геометрия | Британника
Проективная геометрия , раздел математики, который занимается отношениями между геометрическими фигурами и изображениями или отображениями, возникающими в результате их проецирования на другую поверхность. Распространенными примерами проекций являются тени, отбрасываемые непрозрачными объектами, и движущиеся изображения, отображаемые на экране.
Британская викторина
Викторина по математике
Ваш учитель алгебры был прав.Вы будете использовать математику после окончания учебы — для этой викторины! Посмотрите, что вы помните из школы, и, возможно, узнайте несколько новых фактов в процессе.
Проективная геометрия берет свое начало в раннем итальянском Возрождении, особенно в архитектурных рисунках Филиппо Брунеллески (1377–1446) и Леона Баттисты Альберти (1404–72), которые изобрели метод перспективного рисования. С помощью этого метода, как показано на рисунке, глаз художника соединяется с точками на ландшафте (горизонтальная плоскость реальности, R P ) так называемыми линиями взгляда.Пересечение этих линий обзора с вертикальной картинной плоскостью ( P P ) создает рисунок. Таким образом, плоскость реальности проецируется на плоскость изображения, отсюда и название проективная геометрия . См. Также «Геометрия : Линейная перспектива».
Проективный рисунок Линии взгляда, проведенные от изображения в плоскости реальности ( R P ) до глаза художника, пересекают плоскость изображения ( P P ), образуя проективный или перспективный рисунок.Горизонтальная линия, проведенная параллельно P P , соответствует горизонту. Ранние перспективные экспериментаторы иногда использовали полупрозрачную бумагу или стекло для картинной плоскости, которые они рисовали, глядя через маленькое отверстие, чтобы не терять фокус.
Encyclopædia Britannica, Inc.Хотя некоторые отдельные свойства проекций были известны еще в древности, особенно в области изучения оптики, математики вернулись к этой теме только в 17 веке.Французские математики Жирар Дезарг (1591–1661) и Блез Паскаль (1623–62) сделали первые важные шаги, изучив, какие свойства фигур сохраняются (или инвариантны) при отображении перспективы. Однако реальная важность этого предмета стала ясна только после 1800 года в работах нескольких других французских математиков, особенно Жана-Виктора Понселе (1788–1867). В целом, игнорируя геометрические измерения, такие как расстояния и углы, проективная геометрия позволяет более четко понять некоторые более общие свойства геометрических объектов.С тех пор такие идеи были включены во многие более продвинутые области математики.
Параллельные линии и проекция бесконечности
Теорема из книги Евклида Elements ( c. 300 до н.э.) утверждает, что если линия проведена через треугольник так, что она параллельна одной стороне ( см. рисунок), то линия разделит две другие. стороны пропорционально; то есть соотношение сегментов с каждой стороны будет одинаковым. Это известно как теорема пропорциональных сегментов или основная теорема подобия, и для треугольника A B C , показанного на диаграмме, сегмент линии D E параллелен стороне A B , теорема соответствует математическому выражению C D / D A = C E / E B .
основная теорема подобияФормула на рисунке гласит: k соответствует l , поскольку m соответствует n тогда и только тогда, когда линия D E параллельна прямой A B . Затем эта теорема позволяет показать, что малый и большой треугольники подобны.
Британская энциклопедия, Inc. Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасТеперь рассмотрим эффект проецирования этих отрезков на другую плоскость, как показано на рисунке.Прежде всего следует отметить, что спроецированные отрезки линии A, ‘ B ‘ и D ‘ E ‘ не параллельны; т.е. углы не сохраняются. С точки зрения проекции параллельные линии A, , B, и D, , E кажутся сходящимися на горизонте или на бесконечности, проекция которых на картинной плоскости обозначена Ω. (Именно Дезарг первым ввел одну бесконечно удаленную точку для обозначения проецируемого пересечения параллельных линий.Более того, он собрал все точки на горизонте в одну линию на бесконечности.) С введением Ω спроецированная фигура соответствует теореме, открытой Менелаем Александрийским в I веке нашей эры: C ′ D ′ / D ′ A ′ = C ′ E ′ / E ′ B ′ ∙ Ω B ′ / Ω A ′. Поскольку коэффициент Ω B ′ / Ω A ′ корректирует проективное искажение длин, теорему Менелая можно рассматривать как проективный вариант теоремы о пропорциональных сегментах.
Проективная версия основной теоремы подобия В R P основная теорема Евклида о подобии утверждает, что C D / D A = C E / E В . Введя коэффициент масштабирования, теорему можно сохранить в R P как C ′ D ′ / D ′ A ′ = C ′ E ′ / E ′ B ′ ∙ Ω B ′ / Ω A ′.Обратите внимание, что в то время как линии A B и D E параллельны в R P , их проекции на P P пересекаются на бесконечно удаленном горизонте (Ω).
Британская энциклопедия, Inc.С предоставлением Дезаргом бесконечно удаленных точек для параллелей, плоскость реальности и проективная плоскость по существу взаимозаменяемы, то есть игнорируются расстояния и направления (углы), которые не сохраняются в проекции.Однако другие свойства сохранены. Например, две разные точки имеют уникальную соединительную линию, а две разные линии имеют уникальную точку пересечения. Хотя почти ничто другое не кажется инвариантным относительно проективных отображений, следует отметить, что прямые отображаются на прямые. Это означает, что если три точки коллинеарны (имеют общую линию), то то же самое будет верно и для их проекций. Таким образом, коллинеарность — еще одно инвариантное свойство. Точно так же, если три линии пересекаются в общей точке, их проекции тоже.
Следующая теорема имеет фундаментальное значение для проективной геометрии. В первом варианте, сделанном Паппом Александрийским (320 г. н.э.), как показано на рисунке, он использует только коллинеарность:
Проективная теорема Паппа Папп Александрийский (320 г. н.э.) доказал, что три точки ( x , y , z ), образованные пересечением шести линий, которые соединяют два набора из трех коллинеарных точек ( A , B , C ; и D , E , F ), также коллинеарен.
Британская энциклопедия, Inc.Пусть отдельные точки A , B , C и D , E , F находятся на двух разных линиях. Затем три точки пересечения — x из A E и B D , y из A F и C D и z из B . F и C E — коллинеарны.
Второй вариант Паскаля, показанный на рисунке, использует определенные свойства окружностей:
Проективная теорема Паскаля Французский математик 17-го века Блез Паскаль доказал, что три точки ( x , y , z ), образованные пересечением шести линий, соединяющих любые шесть различных точек ( A , B , C , D , E , F ) на окружности, коллинеарны.
Encyclopædia Britannica, Inc.Если отдельные точки A , B , C , D , E и F находятся на одной окружности, то три точки пересечения x , y и z (как указано выше) коллинеарны.
Есть еще один важный инвариант проективных отображений, известный как перекрестное отношение ( см. рисунок). Для четырех различных коллинеарных точек A , B , C и D кросс-отношение определяется как CRat ( A , B , C , D ) = A C / B C ∙ B D / A D .Его также можно записать как частное двух соотношений: CRat ( A , B , C , D ) = A C / B C : A D / B D .
Поперечное соотношение Хотя расстояния и соотношения расстояний не сохраняются при проецировании, поперечное соотношение, определенное как A C / B C ∙ B D / A D , сохраняется.То есть A C / B C ∙ B D / A D = A ′ C ′ / B ′ C ′ ∙ B ′ D ′ / A ′ D ′.
Британская энциклопедия, Inc.Последняя формулировка показывает поперечное отношение как отношение отношений расстояний. И хотя ни расстояние, ни соотношение расстояний не сохраняются при проецировании, Папп первым доказал поразительный факт, что поперечное отношение инвариантно, то есть CRat ( A , B , C , D ) = CRat ( A ′, B ′, C ′, D ′).Однако этот результат оставался простым любопытством, пока его реальное значение не стало постепенно выясняться в 19 веке, поскольку отображения становились все более и более важными для преобразования задач из одной математической области в другую.
Перспективная и проекционная геометрия | Издательство Принстонского университета
Благодаря уникальному подходу, сочетающему искусство и математику, Perspective and Projective Geometry знакомит учащихся с тем, как проективная геометрия применяется к перспективному искусству.Геометрия, как и математика в целом, предлагает полезную и содержательную линзу для понимания визуального мира. Изучая рисунки карандашом и бумагой, фотографии, картины эпохи Возрождения и конструкции GeoGebra, этот учебник снабжает учащихся геометрическими инструментами для проецирования трехмерной сцены в двух измерениях.
Организованная как серия модулей упражнений, эта книга обучает студентов посредством практического исследования и участия. Каждый урок начинается с визуальной головоломки, которую можно решить с помощью геометрии, за которой следуют упражнения, которые укрепляют новые концепции и оттачивают аналитические способности учащихся.Электронное руководство для преподавателей, доступное учителям, содержит образцы учебных планов и советы, в том числе предложения по темпам и оценкам для художественных проектов.
Проводя важные междисциплинарные связи между искусством и математикой, Перспективная и проективная геометрия идеально подходит для студентов бакалавриата, интересующихся математикой или компьютерной графикой, а также для математически склонных студентов, изучающих архитектуру или искусство.
· Содержит компьютерные модули GeoGebra и практические упражнения
· Содержит множество наглядных примеров, математические и художественные головоломки, а также доказательства с использованием реальных приложений
· Подходит для студентов колледжей, специализирующихся на математике, информатике и искусстве
· Электронное пособие для инструктора (доступно только учителям)
Анналиса Краннелл — профессор математики в Колледже Франклина и Маршалла. Марк Франц — научный сотрудник по математике в Университете Индианы. Он имеет степень бакалавра искусств в живописи Школы искусств Херрона и степень магистра математики в Университете Пердью. Фумико Футамура — профессор математики Юго-Западного университета и художник. Франц и Краннелл являются соавторами книги «Точки зрения: математическая перспектива и фрактальная геометрия в искусстве » (Принстон).
«Предлагая множество вопросов для начала обсуждения, катализаторов гипотез и упражнений, Perspective and Projective Geometry предлагает студентам связать математику с искусством и эстетикой.Он не наносит ущерба строгости математики. Но это также дает новым студентам-математикам необходимые инструменты для взаимодействия с материалом и открытия знаний для себя ». — Эвелин Лэмб, блогер Scientific American
«В течение многих лет Анналиса Краннелл привносила свои идеи и интерес к перспективам, как в геометрии, так и в искусстве, в свое преподавание, письмо и семинары. Теперь, с соавторами Марком Францем и Фумико Футамура, она выпустила превосходный учебник по этому предмету , идеально подходит для занятий или самостоятельных занятий.»- Томас Банчофф, бывший президент Математической ассоциации Америки
.«Наполненный идеями для разнообразных и весьма оригинальных занятий в классе, Перспективная и проективная геометрия помогает студентам установить глубокие связи с геометрией в искусстве. Он полностью отличается от любого другого учебника по проективной геометрии, который я видел». — Джессика Сидман, колледж Маунт-Холиок,
«От Менелая и ликований до заклейки окон и написания математики — эта книга представляет собой восхитительную сетку классической геометрии, перспективы в искусстве, красивой графики и обширный перечень упражнений. Перспективная и проективная геометрия — приятное чтение и ценный учебник для различных курсов », — Дуг Нортон, Университет Вилланова,
Руководство для преподавателя
Princeton University Press предлагает руководство для преподавателя (в формате PDF) квалифицированным преподавателям, которые приняли эту книгу в рамках текущего курса. Пожалуйста, отправьте электронное письмо с вашим именем, учебным заведением, полным адресом доставки университета, названием курса, зачислением, семестром, названием книги и автором на адрес exc_copy @ press.princeton.edu. В строке темы укажите ссылку на «Запрос руководства для инструктора». При условии утверждения.
7.1: Проективная геометрия — математика LibreTexts
Прежде чем рисовать трехмерный объект на плоской поверхности, например в альбоме для рисования или холсте, необходимо изучить некоторые принципы перспективы. Этот навык, основанный на проективной геометрии и развитый в эпоху Возрождения, позволяет художнику рисовать вещи более реалистично. Все мы видели, например, изображения железнодорожных путей и прямых автомагистралей, где две линии, хотя и параллельны в пространстве, кажутся сходящимися в точку, называемую главной точкой схода.
Возможно, вы видели знаменитое произведение искусства « Тайная вечеря » Леонардо да Винчи (1452–1519). На этой картине параллельные линии на потолке нарисованы таким образом, что, если их удлинить, они сходятся в середине картины, прямо за головой Христа.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Тайная вечеря Леонардо да Винчи находится в общественном достоянииВ 15 веке многие художники начали использовать перспективу, практикуя ее, рисуя многогранники и здания, одновременно исследуя математические вычисления. основы и правила такой техники.Неудивительно, что да Винчи был также опытным математиком, ученым и инженером. Заинтересованные читатели могут найти других художников, внесших вклад в геометрическую теорию перспективы, таких как Филиппо Брунеллески (1377–1446), Леон Баттиста Альберти (1404–1472), Паоло Уччелло (1397–1475), Альбрехт Дюрер (1471–1528) , и Венцель Ямницер (1508–1585).
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): исследование перспективы Леона Б. Альберти является общественным достоянием.В частности, Альберти известен концепцией «визуальной пирамиды», которая дает нам основу для перспективы, как видно на этом рисунке:
Рис. \ (\ PageIndex {3} \): Визуальная пирамида (изображение CC-BY-SA Мартина Крауса)Не вдаваясь во все детали, разработанные на протяжении веков, мы сформулируем некоторые основные принципы перспективы.
Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Изображение Моаджема Хоссейна лицензировано CC-BY-SA-4.0Figure \ (\ PageIndex {5} \): Изображение предоставлено mellowchuFigure \ (\ PageIndex {6} \): Изображение Wikimedia Commons имеет лицензию CC-3.0Принципы перспективы
Как показывают первые два рисунка, все линии, перпендикулярные полотну (плоскости, на которой нарисованы объективы), параллельны в пространстве и сходятся в точке, называемой «главной точкой схода».
Все линии, параллельные полотну, такие как железнодорожные шпалы (деревянные части под железнодорожными путями) и горизонтальные края плиток пола, не сходятся на полотне, а остаются параллельными и горизонтальными на полотне.
Все остальные прямые, параллельные в пространстве, сходятся в своих точках схода, как показано на третьем рисунке, и все точки схода находятся на горизонтальной линии (которая также содержит главную точку схода).
Знание этих трех принципов или правил перспективы поможет вам рисовать цели в трехмерном пространстве гораздо более реалистично.
Номер ссылки
- Список литературы (16)
Авторы и авторство
Введение
Введение| ТОС и гл.0 и гл. 1 Аксиома ОглавлениеЧ. 0 ВведениеCh. 1 Аксиоматические системы 1.1.1 Введение 1.1.2 Примеры 1.1.3 История 1.2 Конечная геометрия 1.3 Конечная проективная 1.4 Приложения | Гл. 2 Нейтральная геометрияЧ. 2 Содержание 2.1.1 Введение 2.1.2 История 2.1.3 Аналитические модели 2.2 Аксиомы заболеваемости 2.3 Аксиомы расстояния / линейки 2.4.1 Аксиома разделения плоскостей 2.4.2 Угол и измерение 2.5.1 Дополнение к постулату 2.5.2 Постулат SAS 2.6.1 Параллельные линии 2.6.2 Четырехугольник Саккери 2.7.1 Постулат о параллельности Евклида 2.7.2 Постулат гиперболической параллельности 2.7.3 Постулат эллиптической параллельности 2.8 Евклид / гиперболический / эллиптический Аксиомы Биркгофа Аксиомы Гильберта SMSG Аксиомы | Гл. 3 TransformationalCh. 3 Содержание 3.1.1 Введение 3.1.2 История 3.2.1 Определения 3.2.2 Аналитическая модель 3.2.3 Аффинное преобразование 3.3.1 Изометрия 3.3.2 Модель / Коллинеарность 3.3.3 Модель / Изометрия 3.4.1 Прямая изометрия 3.4.2 Модель / Прямая 3.5.1 Косвенная изометрия 3.5.2 Модель / косвенный 3.6.1 Преобразование подобия 3.6.2 Модель / Сходство 3.7 Другие аффинные преобразования | Гл. 4 Проективная геометрияЧ. 4 Содержание 4.1.1 Введение 4.1.2 Историческое 4.2.1 Аксиомы 4.2.2 Основные теоремы 4.3 Двойственность 4.4 Теорема Дезарга 4.5.1 Гармонические наборы 4.5.2 Музыкальные и гармонические наборы 4.6.1 Определения проективности 4.6.2 Основная теорема 4.6.3 Проективность / Гармонические множества 4.6.4 Альтернативная конструкция 4.7.1 Коники 4.7.2 Теорема Паскаля 4.7.3 Касательные к коникам | Другие темы 5 Сферическая геометрияЧ. 6 Фрактальная геометрияЧ. 7 Топология | ПриложенияИнтернет-ресурсыIndexGeometer’s Sketchpad / GeoGebraJavaSketchpad / GeoGebraHTML Видео-лекции Логический обзор Рекомендации Благодарности |
4.1.1 Введение в проективную геометрию Распечатка
А поскольку геометрия является правильной основой
всю живопись, я решил научить всех ее азам и принципам
молодежь, стремящаяся к искусству …
Альбрехт Дрер (14711528)
Большая часть мотивации
исследование проективная геометрия происходит от искусства. Как нарисовать тройку
объемный объект в двух измерениях и сохранять ощущение глубины? Перейти к
местный художественный музей или посетите художественный музей в Интернете, например Национальная художественная галерея, Метрополитен-музей, или Искусство в сети.Изучите, как разные художники
придали глубину своим картинам.
Один пункт
Перспектива используется для рисования трех пирамид на следующей диаграмме.
Нажмите
здесь для динамической иллюстрации
пирамиды GeoGebra или
JavaSketchpad.
В одноточечной перспективе все Линии наблюдения пересекаются на идеальная точка вдоль линии горизонта . Концепция выросла из художественный взгляд на то, что параллельные линии будут пересекаться в идеальных точках на горизонте.Посмотрите на железнодорожные пути и посмотрите, как они сходятся. расстояние. На следующем рисунке показан пример прямоугольника, нарисованного двухточечной перспектива. Вид похож на то, что стоишь на углу улицы, потом смотришь вниз каждая сторона. Здесь есть две идеальные точки вдоль линии горизонта. Нажмите здесь, чтобы динамическая иллюстрация двухточечной перспектива GeoGebra или JavaSketchpad.
Проекция фигуры через отверстие для булавки часто используется как недорогой и безопасный метод наблюдения за солнечными лучами. затмение.На нашей двумерной иллюстрации (ниже) фигурка была сделана проецируется через точку на линию. Обратите внимание, как изображение перевернуто через дырочку. Это иллюстрация того, что будет называться перспективность между двумя карандаши точек. Образ человека проецируется на фокальную линию через отверстие. Нажмите здесь для динамической иллюстрации обзора через отверстие для штифта GeoGebra или JavaSketchpad.
Обратите внимание, что все строки
пересекаются. Одна из аксиом проективной геометрии требует, чтобы любые две
четкие линии
пересекаются хотя бы в одной точке. Следовательно, проективная геометрия неевклидова.
геометрия.
Рассмотрим тетраэдр, нарисованный в
самолет. Двумерный
рисунок тетраэдра состоит из четырех точек, из которых нет трех.
коллинеарны. Это мотивирует одну из аксиом проективной геометрии.Аксиома
будет указано как «Существует как минимум четыре точки, ни одна из трех
коллинеарен ». Фигура, образованная четырьмя точками и шестью линиями, определяемыми
эти точки будут называться четырехугольником .
Далее, если мы продолжим стороны
2-мерный рисунок тетраэдра, отметим, что каждая пара
«противоположные стороны» пересекаются в точке. (См. Цветную корреспонденцию в
диаграмму.) Эти три точки образованы пересечениями противоположных сторон
не коллинеарны, что является мотивацией для аксиомы, сформулированной как «Три
диагональные точки полного четырехугольника никогда не лежат на одной прямой «, где точки
точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками .
Представьте, что квадрат просматривается сбоку двумя зрителями, против 1 и против 2, с разных сторон.
перспективы, как показано на данном рисунке. Каждый зритель видел бы вершины
квадрат по прямой. Перспектива зрителя v 1, вершин
квадрат — точки вдоль линии в порядке C, D, A, B ; тогда как,
перспектива зрителя v 2, вершин квадрата, является
указывает на линию в порядке D, A, C, B. Как бы порядок
вершины меняются, если зритель переместился, чтобы получить другую перспективу? К
проверьте свои догадки иди на
исследуйте с динамической иллюстрацией
GeoGebra или JavaSketchpad.
Точки на линии, от которой
зритель видит, что вершины квадрата будут определены в следующем разделе как
карандаш точек . Каждая диаграмма точки зрения зрителя (наблюдение
точка, линии обзора и карандаш точек) будет называться перспективностью с точкой, представляющей зрителя, называемой центром перспективность.
В разделе о перспективах и
проекции, мы будем изучать отношения между тем, что воспринимается (пучок точек)
двумя зрителями. Как можно спроецировать перспективу одного зрителя на
перспектива другого? Это приводит к более общей концепции проективность, , которая будет определена как произведение перспективы.
Перспективная и проекционная геометрия | Европейское математическое общество
Это учебное пособие для изучения методов перспективного рисования и теории перспективы и проективной геометрии.Упражнения варьируются от очень практических до доказательств теорем, но в основном они основаны на экспериментах и открытии теории путем практики на примерах.
Книга начинается с примера очень практического эксперимента. Один человек (режиссер) должен стоять неподвижно с закрытым глазом перед большим окном на расстоянии нескольких метров. Он или она смотрит на пейзаж или здания снаружи. Желательно, чтобы на ракурсе было много прямых линий. Окно используется как холст, на котором должен быть спроецирован внешний мир, и режиссер должен проинструктировать других студентов (художников) закрепить ненужную ленту на окне, где режиссер видит проецируемые прямые линии внешнего мира.Это способ определить, как трехмерный мир представлен на двумерном холсте окна. В первом модуле есть несколько вопросов, на которые можно ответить в пустом месте, оставленном открытым для этой цели, или нужно проверить истинные / ложные ответы или выбрать из нескольких вариантов выбора. Все страницы книги перфорированы, чтобы их можно было вырвать и передать для исправления или обратной связи. Также есть раздел для домашних заданий с дополнительными вопросами (отмечены кружком E: Ⓔ) и художественных заданий, таких как рисование или фотографирование (отмечены треугольником A) или более теоретических упражнений, связанных с теоремами и доказательствами (отмечены квадратом. П).В приложении к этому первому модулю дается некоторое объяснение, которое должно привести к определению эскизов в n-точечной перспективе, над чем будут работать последующие модули на более теоретической основе.
Этот первый модуль, описанный выше, является примером организации всех 13 модулей, хотя некоторые из них носят более теоретический характер, а ни один из других не имеет приложения. Некоторые вопросы являются неполными, и учащийся должен угадать, в чем заключается вопрос. Это, конечно, было подготовлено в предыдущих вопросах, но все же может возникнуть проблема с правильным завершением предложения, что делает невозможным переход к следующим вопросам.Поэтому я считаю, что это не рабочая тетрадь для самообучения, учителем должен руководить процесс, но это остается проблемой для ученика, в обязанности которого входит найти правильный путь или выявить концепции и теоремы, поддерживающие конструкции.
Чтобы проиллюстрировать, как каждый переходит от эксперимента по заклеиванию окон к теории, отметим, что в разделе 2 необходимо проанализировать и завершить графическое представление трехмерной конструкции из двух толстых плиток друг на друге в виде буква T, нарисованная в (1-точечной) перспективе.3 $
. Последние позволяют проецировать 3D-сцену на 2D-плоскость, и ее можно использовать, например, для правильного проецирования сегментов с равным интервалом (например, вертикальных столбов забора или квадратной плитки пола) на неравномерные расстояния на холсте или как правильно нарисовать плакат на стене, который изображен на холсте в перспективе.
Теория продолжается, как указано выше, но всегда в связи с практическими проблемами, связанными с построением 3D-сцен на 2D-холсте. Следующая проблема — это теорема Дезарга (два треугольника находятся в линейной перспективе тогда и только тогда, когда они находятся в точечной перспективе).3 $, и нужно получить доказательство. С другой стороны, этот модуль также знакомит с упражнениями в GeoGebra (бесплатный интерактивный программный пакет для геометрии, алгебры и других вычислений). Элементарное введение в использование GeoGebra добавлено в приложение. Теперь ученик должен знать достаточно о проективной геометрии, чтобы перемещать объекты с помощью таких понятий, как (перспективные) коллинеации, гомологии и то, как они связаны с гармоническими множествами. Теперь можно поэкспериментировать, перемещая точки на графике GeoGebra.
При этом модули несколько смещаются в сторону цифр. Например, позиция дизайнера в примере окна с лентой может быть найдена кем-то, кто переместится в положение, при котором сцена снаружи совмещается с лентами на окне. Но теперь, на этом этапе книги, можно вычислить расстояние от глаза зрителя до холста по перспективному рисунку. Или должно быть возможно получить из одноточечной перспективной проекции коробки, является ли он кубом или нет.Модуль 10 позволяет рисовать прямоугольники в двухточечной перспективе с учетом фактических расстояний, а модуль 11 улавливает поперечное соотношение четырех точек в качестве числового инварианта, позволяющего рисовать линии в перспективе, которые в действительности равноудалены, проблема, которая также ранее рассматривалась в модуль 6. Другой инвариант — более сложное $ h $ -выражение, связывающее расстояния между 8 точками в прямоугольной конфигурации. Это названо в честь Говарда Ивса (1911–2004 гг. — авторы неверно указывают даты 1913–2000 гг.) И это доказано им.2 $ (для этого пространства теорема о четырех цветах не выполняется, так как в общем случае необходимы шесть цветов).
Каждый модуль начинается с одностраничной графики, над которой нужно работать по мере продвижения в модуле, и, таким образом, это каким-то образом цель и мотивация для нового модуля. Для справки основные определения и теоремы приведены в приложении. Последнее приложение посвящено написанию математической прозы, включая стиль, пунктуацию, использование формул и слов и т. Д.Это, конечно, важно для любого студента, который должен научиться писать математику, но еще более важно для студентов, которые следят за курсом с художественным образованием и которые не очень часто знакомятся с математическими текстами. Однако я предполагаю, что им может быть сложно выполнить абстрактную математику этого текста.
Книга представляет собой красивую смесь математики (с довольно абстрактными концепциями и доказательствами), но с практическим введением этих концепций и интересными приложениями в искусстве, а также в практических ситуациях.Кроме того, он дает введение в компьютерную систему GeoGebra и дает намек на линейную алгебру, аналитическую геометрию и топологию. Есть экскурсии в исторические аспекты, музыку, фотографии и многие другие треки. Но в первую очередь это рабочая тетрадь с обширным списком множества различных заданий («крутые» задачи на языке авторов). Дополнительные материалы, относящиеся к этим модулям, доступны на веб-сайте Futamura.
Геометрия перспективы — FlatEarth.ws
Перспектива — это соотношение между размером объекта, расстоянием до него и его видимым / угловым размером.Угловой размер больше, если объект находится ближе или больше.
Часто сторонники плоской Земли утверждают, что мы не можем видеть далекий объект не из-за кривизны Земли, а из-за перспективы. В некотором смысле правильно сказать, что перспектива может привести к тому, что объект будет иметь слишком малый угловой размер, чтобы его можно было увидеть нашими глазами. Однако сама по себе перспектива не может «скрыть» часть объекта, открывая при этом остальную его часть.
Если объект находится достаточно далеко, его угловой размер приближается к нулю, и кажется, что объект сжимается до точки.Угловое разрешение — это наименьший угловой размер, который все еще распознается оптической системой.
Угловое разрешение человеческого глаза составляет около одной угловой минуты или около 0,017 °. Если объект имеет угловое разрешение менее одной угловой минуты, наш глаз не сможет распознать объект.
Чтобы увеличить угловой размер объекта, мы должны приблизиться к нему. Или мы можем использовать оптическое средство, например телескоп или бинокль. Это улучшит угловой размер, и объекты с меньшим угловым размером будут легче различимы.
Угловой размер удаляющегося объекта постоянно уменьшается. Если его угловой размер упадет ниже предела нашего углового разрешения, объект больше не будет распознаваться. Если нет преграды, объект будет отображаться все время до тех пор, пока его угловой размер не станет слишком маленьким, чтобы мы могли его распознать. В этом случае мы говорим, что объект исчезает из-за перспективы.
В других случаях удаляющийся объект сначала кажется целым, затем в какой-то момент его часть становится невидимой, и по мере того, как он идет дальше, большая его часть становится невидимой, при этом остальная часть объекта остается видимой.Такие случаи не являются результатом перспективы. Угловой размер объекта по-прежнему выше нашего углового разрешения. Объект постепенно становится невидимым из-за препятствий со стороны другого объекта, например из-за кривизны Земли.
Звезды и точечный источник света
Объекты с угловым размером меньше нашего углового разрешения по-прежнему излучают фотоны, и они все еще могут достигать сетчатки в наших глазах или датчиков в наших камерах. Если фон достаточно темный, объект будет виден, но мы не сможем распознать его форму.Звезды такие. Их угловые размеры намного ниже углового разрешения человеческого глаза. Но поскольку ночное небо достаточно темное, звезды все еще видны, даже если мы не можем распознать их форму.
Список литературы
перспектив проективной геометрии — экскурсия по реальной и сложной геометрии | Юрген Рихтер-Геберт
Из обзоров:
Выбор — выдающееся ученое звание в 2012 г.
«Автор освещает большинство традиционных тем реальной проективной геометрии и расширяет концепции с помощью сложной проективной геометрии.Он предоставляет читателю краткие доказательства, ясные и проницательные презентации и последовательное развитие темы. Рихтер-Геберт представляет алгебраический, визуальный и схематический подходы для унификации предмета, в то время как его свежий стиль письма делает текст очень читаемым. … Кроме того, ученикам и учителям понравятся цитаты, представляющие каждый раздел. … Подведение итогов: Настоятельно рекомендуется. Студенты старших курсов и преподаватели ». (Р. Л. Пур, Choice, том 49 (5), январь, 2012 г.)
«Эта прекрасная книга предлагает введение в ключевые идеи проективной геометрии….Книга написана неторопливо, что сделает ее доступной для студентов бакалавриата с базовыми знаниями алгебры. … Нет сомнений в том, что автор приложил немало усилий, чтобы писать ясно и сделать свою книгу максимально удобной для пользователя, о чем свидетельствуют хорошо подобранные иллюстрации, по несколько на страницу, много цветных ». (С.Коутиньо, SIGACT News, январь, 2014 г.)
«Автор, известный своими совместными разработками программного обеспечения для интерактивной геометрии Cinderella, представляет здесь подробное введение в реальную и сложную, в основном плоскую геометрию.… Благодаря подробным объяснениям… и очень удобочитаемому стилю, книгу можно горячо рекомендовать даже студентам, а также компьютерным специалистам и физикам ». (G. Teschl, Monatshefte für Mathematik, Vol. 166 (2), May, 2012)
«Автор описывает свою работу как« экскурсию по реальной и сложной геометрии », и эти слова прекрасно объясняют цель книги. . … Предварительные условия для чтения книги — это только основы линейной алгебры (в терминах координат), так что книга кажется доступной для широкой аудитории, от математиков до компьютерных ученых и физиков.»(Ханс Хавличек,« Математические обзоры », выпуск 2012 e)
« В этой книге есть чем восхищаться, что явно является делом любви со стороны автора…. были предприняты значительные усилия, чтобы сделать книгу максимально доступной … но в то же время в книге также содержится обсуждение значительного количества материала, который я никогда раньше не встречал в каком-либо другом тексте, что делает ее полезной в качестве потенциального справочного материала. а также обучающий инструмент ». (Марк Хуначек, Математическая ассоциация Америки, август 2011 г.)
«Автор этой очень хорошо написанной и подробной книги является экспертом в проективной геометрии, особенно в вычислительной проективной геометрии….
