День: 10.06.2019

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ{\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — отображения подобия, а n{\displaystyle n} — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3{\displaystyle n=3} и отображения ψ1{\displaystyle \psi _{1}}, ψ2{\displaystyle \psi _{2}}, ψ3{\displaystyle \psi _{3}} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ{\displaystyle \Psi }.

В случае, когда отображения ψi{\displaystyle \psi _{i}} — преобразования подобия с коэффициентами ri>0{\displaystyle r_{i}>0}, размерность s{\displaystyle s} фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, для треугольника Серпинского получаем s=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z){\displaystyle F(z)} — многочлен, z0{\displaystyle z_{0}} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),…{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),…}

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n{\displaystyle n} к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z1,z2,z3,z1,z2,z3,…{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},…}
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} (или другой похожей функции), то есть тех значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательности zn{\displaystyle z_{n}} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0{\displaystyle z_{0}}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z){\displaystyle F(z)} и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn{\displaystyle z_{n}} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0{\displaystyle z_{0}}. Так, множество Мандельброта — это множество всех c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которых zn{\displaystyle z_{n}} для F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} и z0{\displaystyle z_{0}} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn{\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n{\displaystyle n}, при котором |zn|{\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A{\displaystyle A}).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

• В живой природе:
• В неживой природе:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. ^[1][2] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[3] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Галерея

См. также

Примечания

1. ↑ Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
2. ↑ Бабичев Д.А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: — 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. — Санкт-Петербург, 2016. — 104 с. [1]
3. ↑ Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Литература

• А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Ссылки

Фрактал — Википедия

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ{\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — отображения подобия, а n{\displaystyle n} — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3{\displaystyle n=3} и отображения ψ1{\displaystyle \psi _{1}}, ψ2{\displaystyle \psi _{2}}, ψ3{\displaystyle \psi _{3}} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ{\displaystyle \Psi }.

В случае, когда отображения ψi{\displaystyle \psi _{i}} — преобразования подобия с коэффициентами ri>0{\displaystyle r_{i}>0}, размерность s{\displaystyle s} фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, для треугольника Серпинского получаем s=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z){\displaystyle F(z)} — многочлен, z0{\displaystyle z_{0}} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),…{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),…}

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n{\displaystyle n} к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z1,z2,z3,z1,z2,z3,…{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},…}
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} (или другой похожей функции), то есть тех значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательности zn{\displaystyle z_{n}} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0{\displaystyle z_{0}}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z){\displaystyle F(z)} и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn{\displaystyle z_{n}} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0{\displaystyle z_{0}}. Так, множество Мандельброта — это множество всех c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которых zn{\displaystyle z_{n}} для F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} и z0{\displaystyle z_{0}} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn{\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n{\displaystyle n}, при котором |zn|{\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A{\displaystyle A}).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

• В живой природе:
• В неживой природе:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. ^[1][2] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[3] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Галерея

См. также

Примечания

1. ↑ Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
2. ↑ Бабичев Д.А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: — 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. — Санкт-Петербург, 2016. — 104 с. [1]
3. ↑ Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Литература

• А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Ссылки

Фрактал — Википедия. Что такое Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ{\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — отображения подобия, а n{\displaystyle n} — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3{\displaystyle n=3} и отображения ψ1{\displaystyle \psi _{1}}, ψ2{\displaystyle \psi _{2}}, ψ3{\displaystyle \psi _{3}} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ{\displaystyle \Psi }.

В случае, когда отображения ψi{\displaystyle \psi _{i}} — преобразования подобия с коэффициентами ri>0{\displaystyle r_{i}>0}, размерность s{\displaystyle s} фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, для треугольника Серпинского получаем s=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z){\displaystyle F(z)} — многочлен, z0{\displaystyle z_{0}} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),…{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),…}

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n{\displaystyle n} к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z1,z2,z3,z1,z2,z3,…{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},…}
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} (или другой похожей функции), то есть тех значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательности zn{\displaystyle z_{n}} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0{\displaystyle z_{0}}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z){\displaystyle F(z)} и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn{\displaystyle z_{n}} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0{\displaystyle z_{0}}. Так, множество Мандельброта — это множество всех c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которых zn{\displaystyle z_{n}} для F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} и z0{\displaystyle z_{0}} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn{\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n{\displaystyle n}, при котором |zn|{\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A{\displaystyle A}).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

• В живой природе:
• В неживой природе:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. ^[1][2] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[3] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Галерея

См. также

Примечания

1. ↑ Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
2. ↑ Бабичев Д.А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: — 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. — Санкт-Петербург, 2016. — 104 с. [1]
3. ↑ Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Литература

• А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Ссылки

Фрактальная графика Википедия

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ{\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — отображения подобия, а n{\displaystyle n} — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3{\displaystyle n=3} и отображения ψ1{\displaystyle \psi _{1}}, ψ2{\displaystyle \psi _{2}}, ψ3{\displaystyle \psi _{3}} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ{\displaystyle \Psi }.

В случае, когда отображения ψi{\displaystyle \psi _{i}} — преобразования подобия с коэффициентами ri>0{\displaystyle r_{i}>0}, размерность s{\displaystyle s} фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, для треугольника Серпинского получаем s=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z){\displaystyle F(z)} — многочлен, z0{\displaystyle z_{0}} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),…{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),…}

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n{\displaystyle n} к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z1,z2,z3,z1,z2,z3,…{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},…}
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} (или другой похожей функции), то есть тех значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательности zn{\displaystyle z_{n}} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0{\displaystyle z_{0}}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z){\displaystyle F(z)} и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn{\displaystyle z_{n}} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0{\displaystyle z_{0}}. Так, множество Мандельброта — это множество всех c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которых zn{\displaystyle z_{n}} для F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} и z0{\displaystyle z_{0}} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn{\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n{\displaystyle n}, при котором |zn|{\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A{\displaystyle A}).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

• В живой природе:
• В неживой природе:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. ^[1][2][3] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[4] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Галерея

См. также

Примечания

1. ↑ Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
2. ↑ Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
3. ↑ Бабичев Д. А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: — 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. — Санкт-Петербург, 2016. — 104 с. [1]
4. ↑ Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Литература

• А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. (англ.)русск. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А. Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Ссылки

фрактальная графика — это… Что такое фрактальная графика?

фрактальная графика

fractal graphics

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• фракталь
• фрактальный

Смотреть что такое «фрактальная графика» в других словарях:

• Фрактальная графика — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… …   Википедия

• Фрактальная монотипия — (англ. fractal monotype)  вид фрактальных рисунков, которые получены методом монотипии. Фрактальная монотипия  естественный фрактал на акриле Glue1 Впервые применил технику монотипии в XVII столетии итальянский художник Джованни… …   Википедия

• Компьютерная графика — (также машинная графика)  область деятельности, в которой компьютеры используются как инструмент для синтеза (создания) изображений, так и для обработки визуальной информации, полученной из реального мира. Также компьютерной графикой… …   Википедия

• Машинная графика — Компьютерная графика (также машинная графика)  область деятельности, в которой компьютеры используются как для синтеза изображений, так и для обработки визуальной информации, полученной из реального мира. Также компьютерной графикой называют и… …   Википедия

• Apophysis — Тип Фрактальная графика Написана на …   Википедия

• фрактал — В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как… …   Справочник технического переводчика

• Цифровое изображение — изображение, представленное в цифровом виде. Существуют три основных способа цифрового представления изображений: Растровая графика Векторная графика Фрактальная графика См. также Компьютерная графика …   Википедия

• Компьютерная анимация — Для термина «Анимация» см. другие значения. Растровая 2D анимация 3D анимация …   Википедия

• Фрактал — Множество Мандельброта  классический образец фрактала …   Википедия

• Фракталы — Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… …   Википедия

• Лившиц, Владлен Моисеевич — Владлен Моисеевич Лившиц Дата рождения: 1 ноября 1929(1929 11 01) (83 года) Место рождения: Харьков Страна …   Википедия

Фрактал — Википедия. Что такое Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Примеры

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: Ψ:K↦∪i=1nψi(K){\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}

Можно показать, что отображение Ψ{\displaystyle \Psi } является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения ψi,i=1,…,n{\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n} — отображения подобия, а n{\displaystyle n} — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n=3{\displaystyle n=3} и отображения ψ1{\displaystyle \psi _{1}}, ψ2{\displaystyle \psi _{2}}, ψ3{\displaystyle \psi _{3}} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ{\displaystyle \Psi }.

В случае, когда отображения ψi{\displaystyle \psi _{i}} — преобразования подобия с коэффициентами ri>0{\displaystyle r_{i}>0}, размерность s{\displaystyle s} фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения r1s+r2s+⋯+rns=1{\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}. Так, для треугольника Серпинского получаем s=ln⁡3/ln⁡2{\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ{\displaystyle \Psi }, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z){\displaystyle F(z)} — многочлен, z0{\displaystyle z_{0}} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: z0,z1=F(z0),z2=F(F(z0))=F(z1),z3=F(F(F(z0)))=F(z2),…{\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),…}

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении n{\displaystyle n} к бесконечности. Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,
• стремиться к конечному пределу,
• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: z1,z2,z3,z1,z2,z3,…{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},…}
• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} (или другой похожей функции), то есть тех значений z0{\displaystyle z_{0}}, для которых поведение последовательности zn{\displaystyle z_{n}} может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0{\displaystyle z_{0}}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z){\displaystyle F(z)} и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn{\displaystyle z_{n}} демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0{\displaystyle z_{0}}. Так, множество Мандельброта — это множество всех c∈C{\displaystyle c\in \mathbb {C} }, при которых zn{\displaystyle z_{n}} для F(z)=z2+c{\displaystyle F(z)=z^{2}+c} и z0{\displaystyle z_{0}} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn{\displaystyle z_{n}} к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n{\displaystyle n}, при котором |zn|{\displaystyle |z_{n}|} превысит фиксированную большую величину A{\displaystyle A}).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

• В живой природе:
• В неживой природе:

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику.

Коэн основал собственную компанию и наладил серийный выпуск своих антенн. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться. ^[1][2] Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован^[3] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Галерея

См. также

Примечания

1. ↑ Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
2. ↑ Бабичев Д.А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: — 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. — Санкт-Петербург, 2016. — 104 с. [1]
3. ↑ Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Литература

• А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8.
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А.Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Ссылки

Понятие фрактала и история появления фрактальной графики — Студопедия

Кодирование цвета. Палитра

Для того чтобы компьютер имел возможность работать с цветными изобра­жениями, необходимо представлять цвета в виде чисел – кодировать цвет. Способ кодирования зависит от цветовой модели и формата числовых дан­ных в компьютере.

Для модели RGB каждая из компонент может представляться числами, огра­ниченными некоторым диапазоном – например, дробными числами от 0 до 1 либо целыми числами от 0 до некоторого максимального значения. В настоящее время достаточно распространенным является формат True Color, в котором каждая компонента представлена в виде байта, что дает 256 градаций для каждой компоненты: R= 0…255, G = 0…255, B = 0…255. Ко­личество цветов составляет 256х256^х256 = 16.7 млн (2²⁴).

Такой способ кодирования цветов можно назвать компонентным. В компь­ютере коды изображений True Color представляются в виде троек байтов, либо упаковываются в длинное целое (четырехбайтное) – 32 бита.

При работе с изображениями в системах компьютерной графики часто при­ходится искать компромисс между качеством изображения (требуется как можно больше цветов) и ресурсами, необходимыми для хранения и воспро­изведения изображения, исчисляемыми, например, объемом памяти (надо уменьшать количество бит на пиксел).

Кроме того, некоторое изображение само по себе может использовать огра­ниченное количество цветов. Например, для черчения может быть достаточ­но двух цветов, для человеческого лица важны оттенки розового, желтого, пурпурного, красного, зеленого; а для неба– оттенки голубого и серого. В этих случаях использование полноцветного кодирования цвета является избыточным.

При ограничении количества цветов используют палитру, представляющую набор цветов, важных для данного изображения. Палитру можно восприни­мать как таблицу цветов. Палитра устанавливает взаимосвязь между кодом цвета и его компонентами в выбранной цветовой модели.

Компьютерные видеосистемы обычно предос­тавляют возможность программисту установить собственную палитру.

Каждый цвет изображения, использующего палитру, кодируется индексом, который будет определять номер строки в таблице палитры. Поэтому такой способ кодирования цвета называют индексным.

ТЕМА № 4. ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАФИКА

Понятие фрактала и история появления фрактальной графики. Понятие размерности и ее расчет. Геометрические фракталы. Алгебраические фракталы. Системы итерируемых функций. Стохастические фракталы. Фракталы и хаос.

Вы, наверное, часто видели довольно хитроумные картины, на которых непонятно что изображено, но все равно необычность их форм завораживает и приковывает внимание. Как правило, это хитроумные формы не поддающиеся, казалось бы, какому–либо математическому описанию. Вы, к примеру, видели узоры на стекле после мороза или, к примеру, хитроумные кляксы, оставленные на листе чернильной ручкой, так вот что–то подобное вполне можно записать в виде некоторого алгоритма, а, следовательно, доступно объясниться с компьютером. Подобные множества называют фрактальными. Фракталы не похожи на привычные нам фигуры, известные из геометрии, и строятся они по определенным алгоритмам, а эти алгоритмы с помощью компьютера можно изобразить на экране. Вообще, если все слегка упростить, то фракталы – это некое преобразование многократно примененное к исходной фигуре.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (см. рис). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек, а кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных (Броуновское движение, цены на акции).

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф…

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» ставший классическим – «Какова длина берега Британии?». Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую–то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра – мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно – длина берега Британии бесконечна.

Основное свойство фракталов – самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах.

Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной – и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактал – триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.

Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли. А можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть её очень симпатичным лесом. В 3D Studio Max, например, для генерации деревьев используется фрактальный алгоритм. И это не исключение – большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы. Горы, лес и облака на картинке – фракталы.

Файлы фрактальных изображений имеют расширение fif. Обычно файлы в формате fif получаются несколько меньше файлов в формате jpg, но бывает и наоборот. Самое интересное начинается, если рассматривать картинки со все большим увеличением. Файлы в формате jpg почти сразу демонстрируют свою дискретную природу – появляется пресловутая лесенка. А вот fif файлы, как и положено фракталам, с ростом увеличения показывают все новую степень детализации структуры, сохраняя эстетику изображения.

Фрактал — Википедия

Colocvial, un фрактал este o figură геометрическая фрагментарная сау frântă poate fi divizată в pări, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (целые приблизительные размеры) или fo000 Terramente 1 întă Бенуа Мандельброт в 1975 году является производным от латинского Fractus , însemnând «spart» sau «фрактурат».

Фрактал, имеющий геометрический объект, имеют общие характеристики:

• Являются структурированными по своему усмотрению.
• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj геометрические традиции Евклида.
• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stohastic).
• Are Dimensiunea Hausdorff mai mare decât sizesiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
• Упрощенное определение и рекурсивное. ^[2]

Deoarece par identityici la orice nivel de magnificare, фракталы sunt de obicei considerați ca fiind infinit completecși (în termeni informali).Printre obiectele naturale care aproximează фракталы până la un anumit nivel se numără norii, lanțurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă și fulgii de zăpadă. Totuși, nu toate obiectele autosimilare sunt фракталы — de exemplu, linia reală (o linie dreaptă euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplinește celelalte caracteristici.

Cuvântul фрактал provine din latinul ractuus , ce производное din verbul frangere care înseamnă «рупия», «фрагмента», «внешний вид».

ncă din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să-și exploice anumite fenomene, prin Intermediul unor model, care la început au fost simpleiste, dar aproximând natura. Odată cu evoluția științei, modelele devin tot mai complexe și se apropie tot mai mult de fenomenele reale observate. Astfel, geometria clasică, euclidiană, lucrează cu figuri geometrice simple. Apariția geometriilor neeuclidiene (ai căror fondatori au fost Lobacevski și Bolyai) condus la o пересмотреть vechilor teorii.

Matematica din spateleractalilor a apărut in secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deși greșise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare sens).

n a doua parte a secolului al XIX-Lea începutul secolului XX, anumiți matematicieni semnalează existența unor rightăți geometrice excepționale, fără nicio asemănare cu figurile studunci corpurile. Printre acestea se numără curba lui Koch, o curbă de Lungime infinită ce limitează o arie finită i care nu admite tangentă în niciun punct al acesteia și sizesiunea Hausdorff, объект геометрической заботы, который имеет размерность întreagă.

в 1872 году, когда речь идет о фрактале, Карл Вейерштрасс имеет исключительную функцию, которая имеет свойство непрерывно, недиференцябила. В 1904 г., Helge von Koch, nesatisfăcut de Definiția abstractă și analyitică a lui Weierstrass, a dato defiie geometryă a unei funcții similare, care se numește astăzi fulgul lui Koch. В 1915 году Вацлав Серпинский a construit triunghiul și, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, acești фрактальные геометрические ау fost descriși drept curbe в loc de forme twoimensionale, așa cum sunt cunoscute astăzi.Ideea de curbe autosimilare a fost preluată de Paul Pierre Lévy, care, in lucrarea sa Curbe i suprafețe in plan sau spaiu formate, parți similare întregului din 1938, a descris o noué curbă фрактал.

Георг Кантор и дат, асеменеа, пример субмульсими эль аксей реале у собственника необинуит — ацесте мульзими Кантор загар, нумите астези фрактал.

Функциональная итерация в планировочном комплексе для исследования секретных объектов 19 на улице Анри Пуанкаре, Феликса Кляйна, Пьера Фату и Гастона Джулии.Totuși, fără ajutorul graficii pe Calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusețea numeroaselor obiecte pe care le descoepriseră.

Cel care își dă seama că asemenea ciudățenii matematice nu constituie doar un упражнение для воображения i că se regăsesc în natură a fost Benoît Mandelbrot. Acesta observă că forma unui munte nu este o piramidă sau un con, trunchiul îmbrăcat cu scoarță al unui copac nu este un cilindru perfect neted, norii nu sunt sfere. Așadar, în natură nu întâlnim, форма геометрическая, простая, регулируемая, ci form cu un grad înalt de complexitate, i unicitate.Din această observație s-a născut o nouă tiință care studiază aceste forme complexe, tiință ce poartă denumirea de geometrie фрактал .

в начале 1960 года, Мандельброт начал производство аутосимиляторов в лучшем случае Cât de Lungă este coasta Marii Britanii? Статистика автоподобия i sizesiune fracțională . В фотографиях, в 1975 году, Мандельброт изобретал термин «фрактал», связанный с денуми и объектом всех размеров Хаусдорфа-Безиковича, который имеет более десяти размеров топологию на са.Простая иллюстрация математического калькулятора.

O clasă de instance simple este dată de mulțimile Cantor, triunghiul și covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano și curba Koch. Другой пример фрактала солнечного фрактала Ляпунова i mulțimile limită ale grupurilor Kleiniene. Fractalii pot fi determiniști (toți cei anteriori) sau stocastici (adică nedeterminiști). De exemplu, traiectoriile mișcării browniene in plan au sizesiunea Hausdorff 2.

Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu фракталии. Obiectele din spațiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi фрактали (vezi atractor). Obiectele din spațiul parameterilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea фрактали. Un exemplu interesant este mulțimea lui Mandelbrot. Această mulțime conține discuri întregi, deci are sizesiunea Hausdorff egală cu sizesiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este Surprinzător este că granița mulțimii lui Mandelbrot are de asemenea Dimensia mulțimii lui Mandelbrot are de asemenea Dimensiaça Мицухиро Шишикура в 1991 году.Un фрактал для того, чтобы înrudit este mulțimea Julia.

Chiar și la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuția Pareto производит форме подобны дифериту нивелури де гросисмент.

Mandelbrot folosește termenul фрактал in sensul de «neregulat», iar defiția pe care o formulează este:

«… un ansamblu care prezintă aceleași neregularități la orice scară ar fi privit.»

Așadar, din punct de vedere геометрический, фрактал este un anasamblu ale cărui părți sunt într-o bună măsură identity cu întregul.Această proprietate se numește autosimilaritate .

ntr-un mod sugestiv se poate spune că dacă un obiect de o complexitate геометрического este privit de la o anumită distanță, apoi făcând un zoom este privit din nou i repetând procdeul la infinit, image acea care se vede.

в 1958 году Колмогоров представил концептуальную модель с размерами автосимиляторов ( емкостью ) в моделях:

Să presupunem un segment de dreaptă, un pătrat și un cub care sunt reduce la scara s ( s <1 ).{p}} (2)

de unde prin logaritmare rezultă:

D = lg⁡N (s) lg⁡ (1s) {\ displaystyle D = {\ frac {\ lg N (s)} {\ lg \ left ({\ frac {1} {s}} \ справа)}}} (3)

Numărul D poartă denumirea de sizesiune de autosimilaritate sau de capacity . Mai târziu, aceasta este denumită i sizesiune Hausdorff.

Mulțimea lui Cantor [изменение | modificare sursă]

În cazul mulțimii lui Cantor, формула (3) devine:

D = lg⁡N (s) lg⁡ (1s) = lg⁡2klg⁡3k = klg⁡2klg⁡3 = lg⁡2lg⁡3≈0,6309.{k}}} = {\ frac {k \ lg 20} {k \ lg 3}} = {\ frac {\ lg 20} {\ lg 3}} \ приблизительно 2,7268.}

Din Пример того, что такое наблюдение, как измерение Хаусдорфа, является уникальным фрактальным, не имеющим отношения к общему количеству элементов. Există i фрактали с размерами întreagă, cum sunt curba lui Peano i curba lui Hilbert care au Dimensiunea 2.

urn urma analizei sizesiunilor topologice și фрактал i formulării uni defiții riguroase a noțiunii de фрактал s-a constatcă, cazul фрактал, размерный фрактал este mai mare decăt ce:

D> DT.{\ displaystyle D> D_ {T}.}

Fractalii в стиле [изменение | modificare sursă]

Aplicabilitatea geometrieiractale nu se rezumă doar la fenomene statice, ci și în studiul fenomenelor dinamice, in evoluție, cum ar fi fenomenele de creștere în biologie sau de dezvoltare a populațiilor urbaneiilor.

Fractalii in natură [изменение | modificare sursă]

Fractali aproximativi sunt ușor de observat în natură.Aceste obiecte afișează o structură auto-similară la o scară mare, dar finită. Примеры включают нории, фульгию де запада, кристалл, лансурил горный, фульгереле, рельелеле де раури, конопида сау брокколи si sistemul de vase sanguine și vase pulmonare.

Ар

Fractal — Википедия, свободная энциклопедия

Un фрактал es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. ^[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y Der Latín Fractus , que means quebrado o фрактурадо. Muchas estructuras naturales son de tipo фрактал.La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente фрактал es que su Dimensión métrica фрактал es un número racional mayor a su sizesión topológica.

Si bien el término «фрактал» es reciente, los objetos hoy denominados фракталы eran bien conocidos en matemáticas desde Principios del siglo XX. Las maneras más comunes determinar lo que hoy denominamos sizesión фрактальный fueron establecidas a Principios del siglo XX en el ámbito de la teoría de la medida.

Introducción [editar]

Определение фрактальной дескрипции en los años 1970 dio unidad a una serie deejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás.Фрактальный объект геометрии se le atribuyen las siguientes características: ^[2]

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.

Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad

• Fractales naturales son objetos naturales que se pueden submitar con muy buena aproximación medianteractales matemáticos con autosimilaridad estadística.Losractales encontrados en la naturaleza se differencian de los фрактальные математические математицы en que los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende solo a un rango de escalas (por ejemplo, a escala cercana a la atómiere Difference. Macro estructura.
• Conjunto de Mandelbrot — это фрактальный автоподобный объект, родившийся по-эль-коньюнто-де-пунтос-эстаблс де Орбита акотада бахо сьерта трансформация итератива без линейного.
• Paisajes фракталы, это типо фрактальных генеральных вычислений, которые производят реалистичные реалистичные изображения.
• Fractales de pinturas , которые используются для реализации процедуры декалькомании.

Нет basta con una sola de estas características para Definir un фрактал. Por ejemplo, la recta real no se considera un фрактал, pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.

ООН фрактал естественный — это элемент естественного движения, созданный с помощью медианного геометрического фрактала. Las nubes, las montañas, el sistema circuitatorio, las líneas costeras ^[3] o los copos de nieve sonractales naturales.Esta Representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos фрактальные идеи, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Los ejemplos clásicos [редактор]

Para encontrar los primeros ejemplos de фракталы debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos фрактал, como ejemplo de funcióncontina pero no differenciable en ning.

Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una Definición más geométrica.Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que matchia a lo que hoy llamamos concunto фрактал. Así, en 1904, Helge von Koch Definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. В 1915 году Вацлав Серпинский строил су триангуло у, un año después, su alfombra.

Estos Conjuntos Mostraban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una «galería de monstruos», como los denominó Poincaré.Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos. ^[4]

В 1919 году всплеск una herramienta básica en la descripción y medida de estos coniuntos: la sizesión de Hausdorff-Besicovitch.

Лос-конъюнкт-де-Хулия [редактор]

Estos Conguntos, fruto de los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas z↦f (z) ↦f (f (z)) ↦… {\ displaystyle z \ mapsto f (z) \ mapsto f (f (z)) \ mapsto \ ldots}.

Analicemos el caso special de funciones polinómicas de grado mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda a ∞ {\ displaystyle \ infty}. Al concunto de valores de z∈C {\ displaystyle z \ in C} que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina concunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente concunto de Julia.

Эстос конъюнктус представляет собой медианный алгоритм побега, в котором пиксель кодирует сегмент числа итераций, необходимых для побега.{2} + c}

• En negro, Consunto de Julia relleno asociado a f _c , c = φ-1, donde φ es el número áureo

• Conjunto de Julia relleno asociado a f _c , c = (φ − 2) + (φ − 1) i = -0,382 + 0,618i

• Conjunto de Julia relleno asociado a f _c , c = -0,835-0,2321i

Фрактальные семьи: конъюнктура Мандельброта [редактор]

Семья коньков Джулии {fc} {\ displaystyle \ {f_ {c} \}}, asociadas a la reiteración de Funciones de la forma fc (z) = z2 + c {\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c} Presenta Consuntos de Una variedad sorprendente.

Dicha familia тендра особенная релевантность al quedar параметризация на карте фракталов, Popularizado en los años 1980, llamado concunto de Mandelbrot. Это конъюнктура M представляет собой карту в кадре пикселя, соответствующую параметру качества c∈C {\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}, и это цветовая модель модели, отражающей ее, унаследована от основы конъюнктуры Джулии, связанной с fc { \ displaystyle f_ {c}}. En concreto, c∈M {\ displaystyle c \ in M} si el conexunto de Julia asociado a fc {\ displaystyle f_ {c}} es conexo.

Iterando functions de forma alternativa se generan los фрактальные осцилляторы.

Метод Мандельброта: различные фракталы итерационные возможности Z [редактор]

Продолжение се муэстра у серии фракталов де лас различающихся потенциалов Z = Z ^м + C , сегун эль методу де Мандельброт. Todos los puntos del plano complejo C = (Cx, iCy) son iterados por adición a la función correiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x = 0 iy = 0.Cuando la iteración сходиться se colorea de amarillo pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul. Фрактальное производное функции Z = Z ² + C , названное конъюнктурой Мандельброта.

Фрактальные частицы типа Мандельброта Z = Z ^м + C

• Z = Z ² + CConjunto de Mandelbrot

• Z = Z ³ + С

• Z = Z ⁴ + С

• Z = Z ⁵ + С

• Z = Z ⁶ + С

• Z = Z ⁷ + С

• Z = Z ⁸ + С

• Z = Z ⁹ + С

• Z = Z ¹⁰ + С

• Z = Z ¹¹ + С

• Z = Z ¹² + С

• Z = Z ²⁰ + С

Фрактальные частицы типа Мандельброта Z = Z ^м + 1 / C

• Z = Z ² + 1 / C

• Z = Z ³ + 1 / C

• Z = Z ⁴ + 1 / C

• Z = Z ⁵ + 1 / C

• Z = Z ⁶ + 1 / C

• Z = Z ⁷ + 1 / C

Más Fractales según el método de Mandelbrot.

• Z = Z ² + C ⁶ — 1
  Zo = (0,0i)

• Z = Cos (Z) + 1 / C
  Zo = (0,0i)

• Z = Exp [(Z ² + Z) / Sqr (C ³ )]
  Zo = (1,1i)

• Z = Exp [(Z ² -1,00001 * Z) / Sqr (C ³ )]
  Zo = (0,0i)

• Z = Exp [(Z ² — 1.4)
  Zo = (0,0i)

• Z = Z ² + C ² / (Z ² + C) + C
  Zo = (0,0i)

• Z = Z ² + C ² / (C ⁴ + 0,1)
  Zo = (0,0i)

• Z = Z ² + C ² / (C ⁴ — 0,25)
  Zo = (0,0i)

• Z = SinH (Z / C)
  Zo = (0,1i)

• Z = SinH (Z) + 1 / C
  Zo = (0.90, -0,05i)

• Z = SinH (Z) + 1 / C ²
  Zo = (1, 0,1i)

• Z = Exp [Z ² / (C ⁵ + C)]
  Zo = (0,0i)

El método de Julia: Diferentes фракталы iterando Potencias de Z [редактор]

Продолжение се мэстра уна серия фракталов де лас диферентес потенциас де Z = Z ^м + C, según el método de Julia, por el matemático francés Gaston Julia.

Todos los puntos del plano complejo Z = (x, iy) son iterados en la función correiente. Список итераций, выбранных для выбора постоянного арбитража (Cx, iCy) de tal modo que la elección de la constante «semilla», определен де форма унивока ла форма и цвет фрактала, уна вез есть видо определенно эль патрон цветного. En los ejemplos mostrados непрерывный процесс, который дает вам элегантность, которая постоянно производит дивергенцию, у которой есть цвет и алгоритм побега.

Фрактальные частицы типа Джулия Z = Z ^м + C