26.11.1983

Определение фрактальная графика: works.doklad.ru — Учебные материалы

Фрактальная графика

Последней из рассматриваемых видов компьютерной графики — это фрактальная графика. Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. ) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.

Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры». Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом, можно описать и такой графический элемент, как прямую. Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также, составлять из полученных фигур «фрактальную композицию».

Фрактальная графика, также как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется. Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект»; «Фрактальная прямая»; «Фрактальная композиция»; «Объект-родитель» и «Объект наследник». Следует обратить Ваше внимание на то, что фрактальная компьютерная графика, как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.

Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение?

Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную структуру. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано при составлении декоративной композиции или для создания орнамент. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.

С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Создатель фракталов — это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности — Painter) от прочих графических программ. Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

⇐Трехмерная графика | TeachPro WEB-дизайн | Цветовые модели и палитры⇒

Что такое фрактальная графика? | fraktal

Что такое фрактальная графика?

В математике существует понятие фрактала – геометрического образования, представляющего собой систему самоподобных фигур, расположенных относительно друг друга закономерным образом. Как форма и размер отдельных элементов, так и их взаимное расположение может быть описано математической формулой.

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула, т.е. никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям. Таким образом, строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие природные ландшафты и трехмерные объекты.

Фрактальная графика, как и векторная — вычисляемая, но отличается от неё тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Изображение строится по уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в уравнении, можно получить совершенно другую картину. Способность фрактальной графики моделировать образы живой природы вычислительным путем часто используют для автоматической генерации необычных иллюстраций.

Фрактал – это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека. Земля – классический пример фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шаp. Если приближаться к ней, то будут видны океаны, континенты, побережья и цепи гор. Если рассматривать горы ближе – станут видны еще более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Последнее время фракталы стали популярны у трейдеров для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

· Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину

· Является самоподобной или приближённо самоподобной

· Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую

· Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Квазифракталы | Компьютерная графика

Термин «фрактал» (от лат. fractare – ломать, дробить; fractus – расчлененный, разбитый; англ. fractal – дробный) ввел Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), родившийся в Варшаве в 1924 г., работавший во Франции и США.

Согласно определению Б. Мандельброта, фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа–Безиковича которого строго больше его топологической размерности. Проще говоря, фрактал – множество, размерность которого отличается от обычной размерности, называемой топологической. Б. Мандельброт дает и другое определение: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Строгого и исчерпывающего определения фракталов пока не существует.

Фрактальная структура образуется путем бесконечного повторения (итерации) какой-либо исходной формы во все уменьшающемся (или увеличивающемся) масштабе по определенному алгоритму, т. е. в соответствии с определенной математической процедурой. Этот несложный процесс с обратной связью дает поразительно многообразный морфогенез, нередко подобный созданию природных форм. Таким образом, фракталы характеризуются самоподобием, или масштабной инвариантностью, т. е. единообразием в широком диапазоне масштабов.

Структура идеального компьютерного фрактала сохраняется при любых масштабах ее рассмотрения. Чтобы получить такой фрактал, итерации должны продолжаться бесконечно долго, иначе полученное множество не будет фракталом, утрачивая на каком-то шаге свою фрактальную структуру. Природные, в частности биологические структуры – стохастические, хаотические фракталы, или квазифракталы; повторяемость их структуры в разном масштабе неполна и неточна – это «обрубленные» фракталы. Некоторые исследователи, например, С. Д. Хайтун (1996), приходят к заключению, что фракталы не являются реально существующими объектами, а реальные системы могут быть только фракталоподобными.

Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (границы облаков, линия берега, деревья, листья растений, кораллы, снежинки, …) являются квазифракталами.

Все природные квазифрактальные структуры представляют собой след, результат, структурную запись порождающих их хаотических природных процессов. Фрактальная геометрия природы, неживой и живой, – это геометрия хаоса. Структурные квазифракталы можно считать пространственными аналогами хаотических нелинейных процессов; в результате таких процессов возникают природные квазифрактальные структуры. Хаотические процессы тоже характеризуются повторением своей структуры при изменении масштаба, т. е. статистическим самоподобием, квазифрактальностью во времени.

П. Бак и К. Чен (1991) рассматривают фракталы как мгновенные «срезы» самоорганизующихся критических процессов, пространственные «отпечатки» самоорганизованной критичности, в структуре которых отсутствует строгое самоподобие.

Фрактальная компьютерная графика. Фрактальные графические изображения

Почему фраталы так красивы?

Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге «The Fractal Geometry of Nature»-«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака — это не сферы, горы — не углы, линия побережья — не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия…»Фрактальная графика — это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие «фрактальных технологий» — это одна из немаловажных задач на сегодняшний день. Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции. Х.О.Пайген и П.Х Рихтер.

При фрактальном подходе хаос…перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров — тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Понятие фрактал и фрактальная графика.

Геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики.

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал , фрактальная геометрия и фрактальная графика , появившиеся в конце 70-х , сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает «состоящий из фрагментов» . Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие . Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

В центре фрактальной фигуры находится её простейший элемент — равносторонний треугольник , который получил название «фрактальный» . Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.

Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры» . Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом можно описать и такой графический элемент как прямая.

Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную композицию» . Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник» . Затем идет «Фрактальная фигура» , «Фрактальный объект» , «Фрактальная прямая» , «Фрактальная композиция» , «Объект-родитель» и «Объект наследник» .

Следует обратить внимание на то, что фрактальная компьютерная графика как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.

Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано для создания орнамента или декоративной композиции. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике, найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например, Art Dabbler ) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

На сегодня фрактальная графика очень быстро развивается и весьма популярна и перспективна. Основой фрактальной графики является геометрия. Основным методом создания изображений является принцип наследственности от геометрического свойства наследников.

Фрактал — это структура, которая состоит из частей, подобных целому. Его основное свойство — самоподобие. Объекты, называют самоподобными, если части объекта после увеличения, остаются похожими друг на друга.

Центром фрактальной фигуры является её простейший элемент — треугольник с равными сторонами, который назвали «фрактальный». На середине сторон треугольника строят такие же равносторонние треугольники, которые равны одной третьей стороны исходной фигуры. Затем, на треугольниках первого поколения выстраивают треугольники второго поколения, но уже со стороной равно одной девятой от стороны центрального треугольника. Этот процесс можно продолжать нескончаемое число раз.

Изменение и комбинируя окраски фрактальных фигур, возможно, проектировать живые или неживые природные образы, такие как снег или же деревья, ветви, листья. Составлять фрактальную композицию. Изображения фрактальной графики состоят из уравнений или по системе уравнений. Фрактальная графика — это вычисление. Для того, что выполнять изображения такой графики, компьютеру нужно хранить только формулу или алгоритм, по которой производятся вычисления. Заменив коэффициенты уравнения, можем создать абсолютно другое изображение, а при использовании сразу нескольких коэффициентов одновременно, можно создать линии или поверхность самого сложной формы.

Фрактальная графика 21 века стала популярной совсем недавно, в ней используются такие понятия, как: фрактальные треугольники, фигуры, объекты прямые и композиции. А так же «Объекты-родители» и «Объекты-наследники». Все эти понятия играют свою роль в создании изображения.

При помощи фрактальной компьютерной графики создаются абстрактные композиции, реализующие такие приемы композиции как линии горизонтальные и вертикальные, любые направления диагоналей, различные симметричные и асимметричные. Немногие российские и зарубежные программисты, и компьютерные дизайнеры знакомы с фрактальной графикой.

Объекты фрактальной графики по структуре можно сравнивать со сложными структурами кристалликов льда или снежинок. Используя эти уникальные свойства фрактальной графики можно создавать декоративные орнаменты. Разработанные великими умами алгоритмы и уравнения для синтеза коэффициентов фрактальных рисунков, позволяют создать картинки, близкие по сходству с оригиналом, то есть клонировать картинку, причем неограниченное количество раз.

В машинной графике использование фрактальной геометрии незаменимо при создании искусственных облаков, поверхности моря или гор. Только благодаря фрактальной графике был создан способ реализации сложных объектов, которые по образу очень похожи на природу. Геометрические фракталы на мониторе компьютера — это построенные по заданной программе узоры.

Создателями фракталов является человек разносторонний, владеющий несколькими профессиями сразу. Он должен быть одновременно и художником, и скульптором, и фотографом. Создавая рисунок свои руками, вы пользуясь математической формулой сам задаете ту форму изображения, которая вам нужна. Подстраиваете параметры, выбираете, каким рисунок будет по виду, какого цвета. Отличие фрактальной графики от других редакторов графики, например Photoshop, заключается в том, что вы создаете свой уникальный рисунок с «ноля».

В Photoshop невозможно создать рисунок, его можно лишь отредактировать или отформатировать, придать ему необходимый цвет, размер, улучшить качество и сгладить недостатки. Отличительной чертой редактора Painter считается то, что художник, в реале работающий без помощи компьютера, не сможет, используя кисть, перо или карандаш, тех же возможностей, что даны в Painter.

Аннотация: Сравнение феномена фрактальной компьютерной графики с различными абстрактными живописными техниками и поиск их взаимосвязи в современном искусстве.

Ключевые слова: фрактальная графика, орнамент, арабеска, абстракция, живопись, компьютер, монотипия

Fractal graphic as digital objectless art.

Abstract: This article analyses the phenomena of digital computer graphics, based on mathematics calculations, and possibilities of using it in different modern art techniques.

Digital fractal patterns are irregular, self-similar structures, which are based on natural objects`s group of similar characteristics, such as: corals, starfishes, sea urchins, snowflakes, crowns of the trees. The principle of such image forming is natural, and it becomes much more interesting to watch it`s digital mathematic simulation.

In contrast to digital graphic and painting, fractal graphic does not base on classic art traditions. The most resembling to the fractal graphics are objectless ornamental traditions, which takes the principles of infinite spatial creation of similar groups. The article includes the comparison of general ornamental rules and features of fractal images.

Owing to the fact that modern computer software allows to create the digital fractal graphic without special mathematics skills, an artist can combine traditional and digital painting and abstract fractal graphic to reach that level of balance and fortuity of an image, that abstract artist tried to get, using traditional techniques.

The fractal graphic is examined as an digital analog of traditional painting technique of monotyping in complex art work. Author underlines the likeness of many digital and material ways of creating the images. The final visual language of the piece of art still remains to be more important, than technological details of it`s production.

Keywords: fractal graphic, ornament, arabesque, abstraction, painting, computer, monotyping

Пытаясь определить художественную ценность произведений, полностью созданных с помощью компьютера и существующих в виде подлинника только в нематериальной среде, или произведений, основа создания которых - цифровая графика, нужно уделить внимание возможностям программируемых алгоритмов. С их помощью можно получить сложные орнаментальные изображения, обладающие необычными художественными свойствами.

Речь идет о фрактальной графике, которая позволяет создавать изображения, строящиеся по уравнению или системе уравнений. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от так называемых «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия «фрактал», «фрактальная геометрия» и «фрактальная графика», появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Рисунок морской звезды и фотография снежинки под микроскопом - объекты, обладающие фрактальными свойствами, и фрактальный рисунок, сгенерированный на компьютере.

С помощью специализированных программ вы можете даже без особых математических познаний вносить изменения в формулу построения фрактального изображения, меняя цвет, частоту, размер, форму фрактальных фигур, их композицию и направленность.

Вы управляете построением формулы с помощью привычного графического интерфейса; компьютер тут же просчитывает результаты ваших действий; вы вносите изменения в формулу и тут же видите обновленное изображение фрактала. Графику, полученную таким путем, можно сравнить с традиционными орнаментами или строением многих естественных объектов, обладающих фрактальными свойствами: кораллы, морские звезды и ежи, снежинки, кроны растений.

Сам принцип такого построения изображения естественен, и тем интереснее наблюдать его виртуальную математическую симуляцию.

Рассматривая художественную ценность фрактальной графики, нужно прежде всего заметить, что она не основывается на классических художественных традициях. Конечно, похожий способ построения орнамента использовался в разных национальных искусствах, преимущественно восточных, где беcпредметные мотивы были более развиты. Общий ритм изображения создавался за счет повторяющихся мотивов, родственных друг другу, общее построение рисунка циклично, используются типовые элементы.

Такой подход создает уравновешенную композицию с возможностью продолжать ее бесконечно.

Симметрия, метр, ритм, модуль - эти, имеющие выраженную математическую природу категории наиболее выражены в орнаменте, самой математически строгой области изобразительного искусства.

Приведу для примера некоторые законы орнаментальной композиции:

закон пропорциональности в орнаментальной композиции заключается в установлении соразмерности частей в отношении целого и друг к другу. Пропорциональные отношения площадей рисунка и фона, размеров орнаментальных мотивов и их составных частей, линейных характеристик орнаментальных форм и т.п. определяют выразительность композиции.

закон соподчинения - звучание выразительных средств орнаментальной композиции обеспечивается выделением из их числа главных и подчинения им второстепенных. Закон соподчинения в штучных композициях трансформируется в закон доминанты (господствующей идеи): когда в композиции отчетливо выделяется один или несколько орнаментальных мотивов по размерам, форме, фактуре и цвету.

закон орнаментального контрапункта - построение орнаментальных мотивов возможно из ряда замкнутых элементов путем соединения их в целостный орнаментальный образ.

Фрактальный узор, как правило, отвечает большинству этих пунктов. Особенно близок к строению фрактала вид орнамента «арабеска», построенный по геометрической сетке - принципу бесконечного пространственного развития повторяющихся групп орнаментальных мотивов.

Фрактальную графику, в отличие от растровой и векторной, можно назвать менее вещественной, более самобытной, и существующей изначально, как вид искусства, исключительно в цифровой среде. Конечно, теоретически можно воссоздать поведение математической формулы фрактала и на бумаге, но такое занятие настолько технически трудоемко, что становится бессмысленным.

Фрактальный узор, создаваемый без подготовки математической основы обладает важным свойством - он непредсказуем для создателя. Изначально вы не можете контролировать полностью все аспекты графического изображения, если вы, конечно, не профессиональный математик или перед вами не стоит задача создать конкретный узор по заранее разработанной формуле.

Пример фрактальной графики - демонстрация самоповторяющейся структуры фрактала. Обратите внимание на сбланасированные сочетания цветов.

Художнику интересен именно визуальный результат, получающийся с большой долей случайности, но обладающий выдающимися декоративными особенностями. Не используя ни традиционные, ни цифровые аналоги художественных инструментов, не опираясь изначально на принципы построения композиции, не выбирая гамму цветов, а лишь внося изменения в формулу, которая и является здесь основным конфигуратором, можно получить такое изображение, которое невозможно создать вручную или придумать нарочно. Фрактальный рисунок подчинен общей гармонии, так как повторяет и множит сам себя в различных прогрессиях, единство стиля здесь легко достижимо.

Сам факт того, что именно математический процесс в случайном порядке, практически без вмешательства человека способен генерировать изображения, обладающие художественными свойствами, был бы невозможен без участия компьютера. Компьютер способен помочь автоматизировать творческий процесс, если речь идет о сложной, многоэтапной работе.

Возможности фрактальной графики расцениваются художником как возможности отдельного инструмента, отдельного этапа в общем процессе работы.

Приведу пример: вы решили написать живописную работу размером 2 на 2 метра, выбрали примерную тематику. Пусть это будет многофигурная композиция на фоне пейзажа. Здесь существуют два пути продолжения работы - предметный или абстрактный. Вы можете отталкиваться от рисунка конкретной композиции, фигур, двигать их и перемещать в поисках всеобщей гармонии. Неважно, как вы это делаете: углем на холсте или посредством цифрового графического редактора.

Первый этап вашей работы - это поиски визуальной гармонии в пределах выбранного формата. И более неоднозначный, сложный, но и более продуктивный способ - начать искать предметную композицию, отталкиваясь от беспредметного, абстрактного рисунка. В классической живописи используется имприматура, живописная свободная подложка, первый слой, на котором можно без ограничений намечать цветовые пятна, гармонично распределить по холсту тональные зоны, скомпоновать рисунок, то есть провести подготовительный этап, практически беспредметный, который сам подскажет, в каком направлении лучше двигаться дальше.

Одно из важных умений художника состоит в способности временно отключиться от привязки к конкретным образам и работать с более общими формами, элементами случайности, чувствовать материал, который сам часто подсказывает верные решения. Очень сложно намеренно создать гармоничное произведение, руководствуясь определенным набором правил, и работать всегда в рамках предметности.

Технологический процесс создания простой одноцветной монотипии.

Хорошим примером является техника монотипии в классической живописи. Произведение не обязательно должно быть сюжетным и предметным, чтобы передать настроение и атмосферу. Техника монотипии с некоторой долей случайности позволяет создавать абстрактные живописные произведения.

Художник наносит слой масляных красок на стекло, а потом отпечатывает в зеркальном отражении краски на бумагу. Бумага может иметь собственный цвет, что добавляет вариативности в конечный результат. Под давлением мазки принимают новые формы, смешиваются, проступает цвет бумаги, и художник получает зеркальное изображение рисунка на стекле, измененное и обобщенное благодаря случайным деформациям. Такая монотипия может быть завершена как абстрактное произведение с помощью лессировок, обобщения цвета, добавления новых цветов, или может стать подготовительным подмалевком для дальнейшей работы с вполне предметным сюжетом.

Юрий Вайс . «Абстракция». Бумага, акварель, карандаш, Photoshop. Абстрактная живописная композиция, созданная на основе монотипии.

И в этом случае абстрактные свойства фракталов позволяют получить неожиданный декоративный результат, сыграть роль подмалевка.

Допустим, вам нужно нарисовать фантастический пейзаж, сделать его убедительным, но в то же время необычным, подобрать сложную гамму цветов. Вы можете начать со случайного результата - создать многоцветный плотный фрактальный рисунок, узор, который уже создает некий графический ритм, и использовать его в качестве основы для дальнейшего рисунка в графическом редакторе; вы можете его исказить, поменять цвет, сделать более сдержанным, начать намечать поверх широкими мазками общие черты вашего пейзажа, но случайный узор в качестве подложки будет вас вести, направлять и подсказывать неожиданные решения. После вы можете распечатать получившийся цифровой рисунок, натянуть этот принт и пройтись по нему гуашью или закончить его карандашами, если того требует общая идея произведения.

Именно случайность, вариативность фрактальной графики становится ценным качеством для использования ее в художественных работах, особенно если речь идет о живописи. И тем удивительнее тот факт, что в этом участвует автоматизированный компьютерный процесс, способный с легкостью создать изображение такой степени сбалансированности и случайности, какую с трудом пытались найти и воспроизвести многие художники - абстракционисты.

Слева - абстрактная живопись, Герхард Рихтер A.B. Courbet , холст, масло 1986 г. Cправа - пример фрактальной цифровой графики.

Прием использования повторяющихся мотивов похож на прием калейдоскопа в абстрактной графике. Художник определяет для себя участок работы, который будет в дальнейшем скопирован и отзеркален, выбирает направление отражений и таким образом создает из повторяющихся копий новую, самобытную композицию. При этом, исходный участок сам по себе может быть не гармоничен с точки зрения композиции, не симметричен и хаотичен, но итоговый результат, составленный из множества таких фрагментов, создает весьма неожиданный, непредсказуемый рисунок. Фактор случайности в такой технике тоже присутствует и остается очень важным.

Изображение в калейдоскопе, состоящее из множества отдельных, хаотичных элементов, выстраивается в гармоничный рисунок - благодаря симметричному по вертикали и горизонтали рисунку, отраженным частицам общего «родителя». Хаотичность собирается в гармоничную композицию, основываясь на приеме отражения и повторения. Получается, что фрактальный узор является заведомо уравновешенным.

Юрий Вайс «Калейдоскопы», бумага, акварель, карандаш, Photoshop

Это еще раз подчеркивает сходство техник и художественных подходов в цифровой и материальной средах. При желании художник может найти удобный способ воспроизведения своей техники на компьютере, подобрать нужный набор программ, аналогичных традиционным приемам, и создавать произведения, не ограничивая себя какими–либо техническими рамками.

Компьютерные фракталы и калейдоскопы эффективны при создании абстрактных работ. Растровые редакторы позволяют замешивать цвета, имитировать поверхности, рисовать в различных техниках, а векторная графика способна строить идеальные кривые и геометрические композиции. Умение совмещать все эти возможности дает художнику огромную свободу самовыражения.

Не важно, предметный или абстрактный сюжет разрабатывает художник, делает он свою работу на бумаге, компьютере или совмещает их, - важен лишь визуальный язык итогового произведения: насколько он ясен и как четко передает заложенный художником смысл.

Фрактальная графика представляет собой яркий синтез математических, цифровых, машинных вычислений и орнаментальной, декоративной графики, ее автоматизированность и непредсказуемость открывает новые возможности для творчества. Ее можно назвать главным инструментом для создания беспредметного и абстрактного искусства в цифровой среде.

Список литературы:

Б. Р.Виппер. Введение в историческое изучение искусства. - М., 1970. С. 145–160
Федер Е. Фракталы // Пер. с англ.-Москва, Мир, 1991.
Фракталы в простых числах
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.// Бенуа Мандельброт - изд-во Институт компьютерных исследований. Москва - Ижевск, 2002. С. 17–18, С. 59
Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса // Бенуа Мандельброт. - Ижевск,: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.
Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 18
Что такое фракталы

Фрактальная графика, как и векторная, основана на математических вычислениях. Базовыми элементами фрактальной графики являются сами математические формулы, описывающие линии и линейные поверхности, то есть никаких объектов в памяти ЭВМ не хранится и изображение строится исключительно по формулам (уравнениям).

Установлено, что при любом уровне разрешения, сложная кривая (например, береговая линия), поверхность могут быть аппроксимированы (смоделированы) и прорисованы посредством объединения участков небольших прямолинейных (плоских) сегментов. При переходе на более высокий уровень разрешения аппроксимирующий сегмент вероятностным способом разбивается на новую последовательность новых линейных сегментов и так далее. На основании этого свойства – закона статистического постоянства порождения деталей природных образований при переходе от низких к более высоким уровням разрешения и построен метод использования фрактальных поверхностей

Рис. 1.4Пример фрактального объекта

переводе с английского “фрактальный” означает состоящий из частиц, частей. Такими поверхностями называют класс нерегулярных геометрических форм, задаваемых вероятностным способом на основе исходного описания низкого уровня. Закон дробления линии (поверхности) подбирается опытным путем по критерию визуального согласования синтезируемого (моделируемого) изображения с реальным объектом, изображение которого стремятся получить.

Таким способом строят как простейшие регулярные структуры, так и сложные иллюстрации, имитирующие ландшафты и трехмерные объекты. Наиболее часто фрактальные поверхности используют для моделирования горных ландшафтов. Горный массив (рис. 1.4) предварительно, очень приближенно, описывают полигональной поверхностью, составленной из плоских четырехугольников. Далее каждый четырехугольник разбивается с помощью случайной функции на четыре фигуры меньших размеров, при этом все фигуры вероятностным образом сдвигаются относительно исходной плоскости, сохраняя для каждой фигуры по одной общей вершине с исходным четырехугольником. Деление продолжается до достижения желаемого уровня изрезанности поверхности. Удаляются скрытые поверхности и закрашиваются сгенерированные четырехугольники. Изображения, созданные на основе фрактальных поверхностей, только статистически идентичны реальным объектам.

Фрактальный подход нашел широкое применение во многих областях компьютерной графики, науки и искусства.

Фрактальная графика не является, строго говоря, частью векторной графики, поскольку широко использует и растровые объекты. Фракталы широко используются в растровых (AdobePhotoshop) и векторных (CorelDraw) редакторах и трехмерной (CorelBryce) графике.

Форматы файлов компьютерной графики.

Работа со средствами компьютерной графики предполагает использование при создании графической информации (рисунков, чертежей, иллюстраций) разнообразных графических пакетов растровой и векторной графики (PhotoShop,CorelDraw,bCad,AutoCad, Компас и др.). Все эти пакеты работают в соответствующих форматах, позволяющих не только сохранить созданную информацию, экспортировать ее в другие пакеты, но и импортировать графическую информацию других пакетов. В компьютерной графике применяется большое количество форматов, но лишь небольшая их часть стала стандартом де-факто и применяется в подавляющем множестве программ. Разнообразие в подходах (алгоритмах) и средствах в решении традиционных задач компьютерной графики приводит к несовместимости выходных данных. Как правило, несовместимые форматы выходных файлов имеют векторные, растровые, трехмерные изображения, хотя существуют форматы файлов, позволяющие хранить данные разных классов. Многие приложения ориентированы на задачи с собственными специфическими форматами, но стремление интегрироваться в общую информационную структуру, вынуждает их использовать специальные приемы, фильтры или экспортировать изображение в стандартный обменный формат.

TIFF (Tagget Image File Format ) предназначен для хранения растровых изображений высокого качества (расширение файла . TIF ) в графических пакетах, работающих MS — DOS , PC IBM , Unix , Macintosh платформах. Широта использования этого формата объясняется его возможностями: поддержка множества цветовых моделей, наличие восьмибитного альфа-канала 3 , сохранение обтравочных контуров, различные алгоритмы сжатия без потери информации. Формат обеспечен поддержкой со стороны большинства графических, верстальных и дизайнерских, растровых и векторных программ. Цветовые модели GIF CMYK и Pantone , поддерживаемые TIFF , обеспечивают верную цветопередачу при выводе изображений на полиграфическую печать; допускает запись в файл цветовой профиль ICC . Последние версии TIFF поддерживают несколько алгоритмов сжатия изображения: LZW – без потери информации; ZIP –без потери информации, JPED — с частичной потерей информацией. Универсальным принято считать метод сжатия LZW , обеспечивающий меньший размер выходного файла. Формат широко используется для хранения и обмена графической информацией между различными графическими платформами.

GIF (CompuServe Graphics Interchange Format ) -Графический растровый обменный формат. Разработан фирмой CompuServe . Поддерживается MS — DOS , PC IBM , Unix , Macintosh и Amiga операционными системами. Формат разработан для поддержки графики в Интернете, независимой от аппаратного обеспечения. Поддерживает функции прозрачности цветов и некоторые виды анимации. Поддерживает кодировку 256 цветов. Один из цветов может получить свойство прозрачности через двухбитовый альфа-канал. Допускает включение в файл нескольких растровых изображений, воспроизводимых с заданной периодичностью, что обеспечивает показ на экране простейшей анимации.

Получил большую популярность в Интернете, благодаря большой степени сжатия (метод LZW ). Ограниченные возможности по работе с цветными изображениями обусловливают его применение исключительно для электронных публикаций.

BMP (Windows Device Independent Bitmap ) — растровый формат обмена изображениями между приложениями, работающихми в операционной системе Windows (расширение файла. BMP ) . Формат поддерживает большое количество цветных моделей вплоть до 24 – битного пространства RGB . Полиграфический формат CMYK не поддерживается, что ограничивает сферу применения BMP для электронных публикаций. Размер графического изображения неограничен. В качестве алгоритма сжатия используется метод RLE (компрессия без потери информации). Файлы в формате BMP имеют значительный объем.

PSD (PhotoShop Document) — обственный растровый формат пакета Adobe PhotoShop , один из наиболее мощных по возможностям хранения графической информации. Поддерживает платформы операционных систем Macintosh и Window s. Запоминает параметры слоев, каналов, степени прозрачности, множество и разнообразие масок. Максимальный размер записываемого изображения 30000 х 30000 пикселей. Поддерживает 48-битное кодирование цвета, цветоделение, различные цветовые модели. Применяемый метод сжатия (RLE ) не обеспечивает достаточное сжатие, объем сохраняемой информации достаточно высок.

PhotoCD — растровый формат, разработанный фирмой Kodak , для хранения цифровых изображений высокого качества. Поддерживается платформами всех операционных систем. Формат хранения данных в файле именуется Image Pac , внутренняя структура которого обеспечивает хранение изображения с фиксированными величинами разрешений, и поэтому размеры любых файлов лишь незначительно отличаются друг от друга и находятся в диапазоне 4-5 Мбайт. Каждому разрешению присвоен собственный уровень, отсчитываемый от так называемого базового ( Base ), составляющего 512 х 768 точек.

В файле предусмотрено пять уровней – от Base/16 (128 х 192 точек) до Baseх 16( 2048 х 3072 точек). Работает с 24-битовой кодировкой цветов. Для работы с цветовой информацией используется цветовая модельYCC . Формат обеспечивает хранение высоко качественных полутоновых изображений и записи высококачественных фото — изображений наCD — ROM .

JPEG (Joint Photographic Expects Group ) — формат растровых изображений (расширение файла.JPG ), разработанный фирмой C-Cube Microsystems, ориентирован на все графические платформы. Работает с 24 – битной кодировкой цвета. Независимо от исходной цветовой модели изображения все пиксели переводятся в цветовое пространство CIE Lab . Допустимый максимальный размер изображения 64000 х 64000 точек.

По существу является методом сжатия изображения с частичной потерей информации. Применение компрессии JPEG позволяет уменьшить объем занимаемый файлом до 500 раз по сравнению обычнымbitmap . Позволяет регулировать соотношение между степенью сжатия файла и качеством изображения. Применяемые методы сжатия основаны на удалении «избыточной» информации. Используется в основном для электронных публикаций.

CDR (CorelDraw ) — векторный формат. Рабочий формат графического пакета CorelDraw фирмы Corel Corporation.

EPS (Encapsulated PostScript ) — Фирма Adobe разработала формат описания как векторных, так и растровых изображений на упрощенной версии языка PostScript , который де-факто является стандартом в области допечатных процессов и полиграфии (файл с расширением.EPS ). Это самый надежный и универсальный способ хранения и передачи графических данных. Файл не поддерживает многостраничные документы, но в нем могут одновременно храниться растровые и векторные графические изображения, все необходимые данные о свойствах самого изображения: любая цветовая модель и профили (параметры калибровки оборудования), канал прозрачности, обтравочный контур, треппинг (перекрытие цветов на границе), внедренные шрифты.

В зависимости от потребности при отображении на экране векторного изображения используется формат WMF , а для растрового –TIFF . Открыть файл. EPS для просмотра и редактирования можно при помощи ограниченного перечня программ (например,Adobe Illustrator , CorelDraw ). Кроме того, существенным недостаткомEPS является то, что экранная копия лишь в общих чертах отображает реальное изображение. Действительное изображение можно увидеть на выходе выводного устройства с помощью специальных программ просмотра или после преобразования файла в форматPDF в приложенияхAcrobat Reader , Acrobat Exchange .

WMF (Windows MetaFile ) — файл обменного формата векторных данных относится к категории метафайлов 4 . Является «внутренним» форматом операционной системы Windows на платформеIBM PC для всех ее графических приложений (расширение имени файла.WMF ) через буфер обмена. Однако «универсальность» формата годится далеко не для всех программ. Типичными ошибками при переносе изображения являются искажение цветов, неправильная установка толщины контура и свойств заливки. В формат нельзя включить растровое изображение. Рекомендуется для переноса самых простых объектов.

CGM (Computer Graphics Metafile )- Графический метафайл. Формат файла разработан Международной организацией по стандартизации и Американским национальным институтом стандартов. Поддерживается всеми графическими платформами. Работает с неограниченным числом цветов и не имеет ограничение на размер графического изображения. Используются RLE и CCITT Group 3 и Group 4 методы сжатия информации. Широко используется для обмена векторной и растровой графической информацией между графическими приложениями, работающими на различных платформах.

DXF (Data eXchange Format ) – Специальный символьный формат обмена информацией, разработанный компанией Autodesk Inc. (США) для своих программных продуктов, в первую очередь AutoCAD. Может работать в операционной системе MS — DOS . Поддерживает 8-битную кодировку цвета, сохраняет трехмерные изображения. Формат не предусматривает сжатие информации.

Этот формат обмена стал фактическим стандартом для чеpтежно-гpaфических систем и поддерживается практически всеми разработчиками программных продуктов САПР.

Презентация к исследовательской работе фрактальная графика.

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся “ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА”

Направление: информатика

Тема: «Фрактальная графика»

Вдовина Станислава МБОУ «Гимназия №7», Ростовской области 7 класс

Научный руководитель : Грищенко Е.Е., учитель информатики

г. Обнинск, 2017/2018 учебный год

Актуальность:

Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная графика.

Проблема:

Какова роль фрактальных моделей в современном мире?
Почему наука о фракталах достаточно молода?

Возможно ли создать свои собственные фракталы?

Объектом исследования:

Выступают информационные технологии,.

Цель:

Исследовать фракталы в природе, математике, информатике, исследовать методики построения фрактальной живописи с помощью компьютерных программ, создать фрактальные изображения и анимацию.

Задачи:

узнать, что такое фракталы;
изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
изучить области применения фракталов;
изучить программное обеспечение для создания фрактальной графики.

Фрактальная графика. Понятие фрактала

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов .

Основное определение фрактала, данное Мандельбротом, звучало так: » Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому «.

Бенуа Мандельброт

В основном фракталы классифицируют по трём видам:

Алгебраические фракталы – строятся на основе алгебраических формул.

Множество Мандельброта

Множество Жулиа

Бассейны Ньютона

Фрактальная графика. Виды фракталов

Геометрические (конструктивные) фракталы – фракталы созданные путем простых геометрических построений.

Геометрические фракталы являются самыми наглядными, так как видна самоподобность.

Для построения характерно построение «основы» и «фрагмента», повторяющегося при каждом уменьшении масштаба.

Треугольник Серпинского

Дерево Пифагора

Кривая Леви

Фрактальная графика. Виды фракталов

Стохастические фракталы – получаются в том случае, если в процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т. д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Стохастический фрактал на основе множества Жюлиа

Фрактальное сжатие изображений

Фрактальное сжатие изображений — обнаружение похожих участков в изображении. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 2000 раз (при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе.

Треугольник Серпинского

Папоротник Барнсли

Фрактальная графика. Области применения

Применение фракталов в медицине.

Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.

Теория фракталов может применятся для анализа электрокардиограмм. Также фракталы могут использоваться в обработке медицинских рентгеновских изображений. Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку а соответственно и более качественную диагностику. Еще одна область в медицине где активно могут применятся фракталы — это гастроэнтерология.

Кровеносная система

Бронхи

Анализ электрокардиограмм

Фрактальная графика. Области применения

Геология и геофизика.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий. Также фрактальный анализ помогает в поиске и разработке месторождений полезных ископаемых, распределение которых очень часто происходит по фрактальному механизму. Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Фрактальный анализ бассейнов стока на Марсе

Фрактальное распределение очагов землетрясений

Фрактальная графика. Области применения

Физика.

В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.

Микромир. Строение атома

Фрактальная графика. Области применения

Фракталы в телекоммуникациях.

В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальная антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивает превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, фрактальные антенны используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств.

Фрактальные антенны

Фрактальная графика. Области применения

Фракталы как элементы визуализации и спецэффектов.

Фракталы притягивают и завораживают своей красотой и бесконечностью. Именно поэтому фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов в компьютерной графике и т.д. Поэтому очень широко применяются в компьютерной графике. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Создание фрактальных изображений:

Программа Ultra Fractal
Программа Adobe Photofhop

Ultra Fractal — лучшее решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Ultra Fractal представлен двумя редакциями: Standard Edition и расширенной Animation Edition, возможности которой позволяют не только генерировать фрактальные изображения, но и создавать анимацию на их основе. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении, пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в одном из популярных фрактальных форматов.

Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров — тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Фракталы

1.Введение.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг — это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли их в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Цель моей работы показать красоту фрактальной графики и увидеть при изучении не только треугольники, пирамиды, углы и системы счисления, но и разнообразные фракталы.

2.Понятие «фрактал».

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фрактал (от лат. – дробленый, состоящий из фрагментов) – термин, обозначающий геометрическую фигуру, составленную из нескольких частей, каждая их которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Слово «фрактал» было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature».

Роль фракталов в компьютерной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения компьютерной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

3. Свойства.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов.

4.Применение.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

— компьютерные системы:

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами.

Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

-механика жидкостей:

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков

Например, атмосфера Юпитера представляет собой одно из самых захватывающих зрелищ в Солнечной системе (рис.). Между ледяным холодом космического пространства и тысячеградусной жарой в глубинах атмосферного океана гигантской планеты зарождаются циклопические облачные вихри самых причудливых форм.

-телекоммуникации:

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

—физика поверхностей:

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

-медицина:

Биосенсорные взаимодействия. Биения сердца.

-биология:

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья

-фрактальное искусство:

Еще одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов служит компьютерное искусство. Фракталы не только служат ученым, но и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы

5. Виды фракталов.

Решётка Серпинского

Треугольник Серпинского

Губка Серпинского

Кривая Коха

Фрактал Мандельброта

Кривая Дракона

Множество Мандельброта

Множество Жюлиа

6.Как построить фрактал.

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно.

Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

задать форму рисунка математической формулой

исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры

выбрать вид изображения

выбрать палитру цветов

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)

«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

7. Заключение.

Фрактальная графика — это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие «фрактальных технологий» — это одна из немаловажных задач на сегодняшний день

«Компьютерное изображение» — Исходное изображение. Лекция 1. IP -> CV -> CG (2). Обработка изображений. Реконструкция формы головы по фотографиям. Фото с базовыми линиями. На лекции. Отображение ночного тона на дневной. Закраска индивидуальных полигонов (плоская “flat” закраска). Закраска Гуро (Gouraud) (диффузное отражение).

«Пиктограмма» — Показать любые счета. Определения (состояния строчек). Отправить. Добавить. Отправленный… (в ожидании оплаты). (Удалить строчку) …совсем. Строчка не обязательно должна быть связана со счетом. Команды для работы со строчками в счетах. Собрать строчки в счет. Конструирование языка пиктограмм пользовательского интерфейса.

«Графика и её виды» — Простейшими объектами являются: Векторная графика. Растровая. Изображение строится по уравнению. Компьютерные программы. Векторная графика является объектной. К примеру экран 15” монитора составляет 28Х21 см. Растровая для разработки электронных и полиграфических изданий. Векторная. Недостатки. Фрактальная.

«Растровые изображения» — 12. 10000000. 00010001. 9. 2. 8. 00001001. РТ: №37, стр. 29. 0 – белый цвет, 1 – черный цвет. 4. РТ: №37, стр. 29-30. 10. Цель: 01000000.

«Инженерная графика» — Покровская М.В. Один из примеров — план вавилонского дома с разрезом по дверным и оконным проемам и указанием клинописью размеров. С начала XIX в. Начертательную геометрию стали изучать в российских учебных заведениях. Петровские реформы начала XVIII в. придали ускорение развитию графической культуры России.

«Компьютерная графика в школе» — Применение компьютерной графики в презентациях и моделировании объектов. Работа с элементами окна, главным меню и инструментальными панелями. Графический редактор MS Paint, графические возможности текстового процессора MS Word. Основы диалога ученик – компьютер. Основные операции с файлами и папками.

Фракталы: Геометрические Алгебраические Системы итерируемых функций Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические). Стохастические фракталы

И льётся свет в ночи От каждого луча … И сходятся лучи В холодных три ключа. И каждый из ключей Законам вопреки Неведомо зачем Впадает в три реки, Чей инфернальный бег Сметает все мосты. И каждая из рек — Начало трёх пустынь. И в бездну мир несёт За острые края.. И поглощает всё Фрактал небытия.

Изобретения Кантора: Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок , и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается последовательность множеств Два множества можно сравнивать по величине, сопоставляя элементы одного множества с элементами другого. Например, чтобы определить, каких шариков в ведёрке больше: цветных или чёрных, можно брать их из ведёрка парами, состоящими из цветного и чёрного шариков, до тех пор, пока там не останутся шарики одного цвета. Именно этот остаток и указывает, каких шариков было больше. Такой же принцип Кантор применил для количественного сравнения бесконечных множеств.

Джузеппе Пеано итальянский математик Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино — сине — флексионе. Более всего известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики арифметики Пеано

Изобретения Пиано На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.

Вацлав Франциск Серпинский. . выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум — гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор более 700 статей и 50 книг. Его именем названы числа Серпинского, а также три широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Серпинского. ()

Позднее он дал определение фрактала: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком- то смысле подобны целому»

Мандельброт пишет в своей книге: « Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в её неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака – это не сферы, горы не углы, линия побережья – не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия …»

Слайд 2

Введение

Цель моей работы показать красоту фрактальной графики и увидеть при изучении не только треугольники, пирамиды, углы и системы счисления, но и разнообразные фракталы.

Слайд 3

Понятие «фрактал»

Слайд 4

Роль фракталов

Слайд 5

Свойства

Слайд 6

Применение фракталов

Слайд 7

Компьютерные системы

Слайд 8

Механика жидкостей

Слайд 9

Телекоммуникации

Слайд 10

Физика поверхностей

Слайд 11

Медицина

Биосенсорные взаимодействия
Биения сердца

Слайд 12

Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций

Слайд 13

Фрактальное искусство

Слайд 14

Виды фракталов

Решётка Серпинского.
Губка Серпинского.
Треугольник Серпинского.

Слайд 15

Тетрикс (tetrix) – трехмерный аналог треугольника Серпинского.

Слайд 16

Кривая Коха

Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Инициатор — прямая линия. Генератор – равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова

Слайд 18

Кривая Дракона

Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона.

Слайд 19

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал.

Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями

Слайд 20

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество.

Слайд 21

Еще некоторые примеры конструктивных фракталов.

Слайд 22

Как построить фрактал?

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Art Dabbler»
«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно.

Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

задать форму рисунка математической формулой
исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
выбрать вид изображения
выбрать палитру цветов

Слайд 23

Заключение

Слайд 24

Игнацевич С.В.

Посмотреть все слайды

Компьютерная графика: Фрактальная

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики.
Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.
Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает«состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Программа Chaotica является продуктом без всяких ограничений, на создания фрактальных изображений. Любой желающий может применять ее для своих нужд совершенно бесплатно и создавать свои изображения с разрешением 1280х960 и выше.

Mandelbulb 3D

— фрактальный рэй трейсер, позволяет работать с трехмерными фракталами. Множество настроек, включая настройки цвета, освещения, постобработки, глубины и т.д. позволят максимально осуществить творческий замысел и обеспечат необходимую гибкость при работе. Поддерживает анимацию. Бесплатный и постоянно обновляемый. Официальный сайт: Mandelbulb 3D

Mandelbulber — экспериментальное приложение, разработанное для создания и работы с 3Д-фракталами Мандельброта также и с некоторыми другими видами 3D — фракталов, такими как Mandelbox, Bulbbox, Juliabulb, губка Менгера и т.д.
Особенности: великолепная гибкость по работе с 3Д-фракталами, работа с освещением тенями, цветом, поддержка эффектов ambient окклюзии, глубины резкости и т.д.
Неограниченное разрешение изображения на 64-битных системах. Простой в использовании 3D-навигатор по фракталу. Поддержка анимации. Mac- и Win- версии. Бесплатный. Официальный сайт: Официальный сайт Mandelbulber. Apophysis 7x У генератора фракталов Апофиз много возможностей для создания и редактирования 2Д-фракталов, в том числе редактор, позволяющий напрямую редактировать фрактал, манипулируя треугольниками (своеобразными блоками-преобразованиями). функция мутации применяет случайное редактирование треугольников.

регулировка размеров окон программы под себя. серъезные возможности по манипуляциям с цветом фрактала и даже язык сценариев с прямым доступом к большинству компонентов фрактала. Поддержка анимации. Экспорт с последующим рендерингом в программы, такие как FLAM3 и Chaotica. Поддержка нескольких языков, русского, пока, к сожалению, нет. Множество плагинов, позволяющие добиться невероятных результатов по фракталам. Бесплатный. Официальный сайт: Apophysis 7x Ultra Fractal — генератор фракталов, позволяет создавать изображения фрактальных множеств, а также выполнять их анимацию. Процесс построения изображений определяется набором алгоритмов, описывающих разновидности визуализируемых фракталов, методы их раскраски и применяемые к ним трансформации.

Особенности: модульная архитектура позволяет не только использовать кем-то уже созданные алгоритмы, но и создавать собственные. встроенный язык программирования. Уникальные параметры по работе с цветом и градиентами. Реализована возможность работать с альфа-каналами, слоями и масками, что позволяет легко комбинировать различные фрагменты изображений. Условно бесплатная. Официальный сайт: Ultrafractal

Xenodream — уникальная программа для создания фрактальной 3D графики. Создание или изучение от самых простых форм до сложноых рекурсивных 3D структур, эксперименты с освещением и текстурами. Экспорт текстур или карт глубины (depth maps) для других программ рендеринга. Создание стереограмм, анимации и многое другое. Программа предназначена как для профессионалов, так и для тех, кто любит развлекаться созданием фантастических трёхмерных моделей. WildFire — относительно неплохой и в то же время мощный редактор фрактальной графики. По функциональности его можно сравнить с широко известной программой Apophysis. Так же как и Apophysis, JWildFire работает с флеймами, но в отличии от Апофизиса, написанного на Delphi, JWildFire написана на языке Java.
Ключевыми особенностями программы являются:
-возможность использования потрясающих 3Д эффектов, таких как волны, рябь на воде и пр.
-3д эффекты наложения
-мощный встроенный редактор флеймов-T.

I.N.A.
-встроенный генератор изображений ( возможность генерировать картинки с облаками, плазмой и т.д.)
-множество эффектов обработки изображений в 2Д (Н-р: Вращение, скручивание, разрушение и т.д.)
-простой, но мощный пользовательский интерфейс, который позволяет анимировать практически любой параметр, всего за несколько кликов мыши
-интеграция с Sunflow для высокого качества визуализации.
Основными отличиями от Апофизиса следующие:
У JWildfire в редакторе просмотр происходит в реальном времени. — Но у Apo просмотр является более точным.
JWildfire позволяет использовать флеймы как плагины (Variations)
JWildfire имеет функции HDR выходе (32 бит на канал)
JWildfire имеет Pseudo3D шейдер, который дает более реалистичные результаты для 3D рендера.
Для Apo создан огромный набор плагинов, но они не могут использоваться все вместе. У JWildfire набор меньше, но все же встроено достаточно большое количество плагинов, которые могут быть использованы все вместе.

JWildfire имеет встроенный компилятор для создания собственных плагинов на лету.
Платформа JWildfire является независимой и очень стабильной, — но в Apo рендер происходит быстрее (в 2 раза, в зависимости от формулы)
JWildfire не нуждается в каких-то дополнительных инструментах.
Является бесплатной
Официальный сайт: http://www.andreas-maschke.com/
Примерами изображений могут послужить изображения генератора Apophysis.
Fractal Explorer- это бесплатный фракталогенератор, который позволяет создавать очень красивые фрактальные изображения на основе математических формул.
Программа рассчитана не только на профессионалов, но и на простых пользователей, а следовательно работать с ней не составит никакого труда.Работать в ней можно как и в профессиональных целях, так и ради развлечения, в обоих случаях программа доставит массу удовольствия и много часов приятного времяпровождения!
Fractal Explorer позволяет создавать фракталы, основаные на классических многочленных множествах (Множество Мандельброта, множество Жюлиа, множество Ньютона и их вариации), а также на некоторых других.

Например: 4D-комплексные фракталы (фракталы основанные на кватернионах), 3D «странные» аттракторы, а также IFS системы.Кроме того Fractal Explorer имеет множество функций для создания различных эффектов и улучшения качества генерируемых изображений. Оф.сайт программы: http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/ Incendia является полноценным бесплатным, многопроцессорным 3D фракталогенератором.
Программа постоянно развивается и обновляется. На данный момент она имеет богатый и мощный спектр возможностей для генерации полноценных трёхмерных фракталов.Ключевыми особенностями являются:
-Генерация изображений с разрешениями: 1024, 2048, 2560 и 3072 пикселей (4096 и 8192 пикселей для доноров, т.е. пользователей, сделавших добровольный материальный взнос в пользу автора программы)
-Поддержка двухкратного антиальясинга для получения более гладкой и совершенной картинки.
-45 разновидностей трёхмерных фракталов (правда многие будут включены в состав только будущих версий программы)
-Поддержка фрактальных скриптов для создания новых типов фракталов.

-Большая библиотека текстур, а также возможность импорта внешних текстур.
-Поддержка цветовых градиентов.
-Несколько стилей рендеринга (включая объемный туман, и многие новые шейдеры визуализации).
-Поддержка многоядерных процессоров.
-Наличие встроенных трёхмерных базовых форм для конструирования сложных фракталов. (Включает в себя шесть различных смещений карты базовой формы).
-Мощный редактор фрактальных трансформаций.
-Редактор трёхмерных базовых форм.
-Редактор материалов
-3D Mesh экспорт (до 1000х1000х1000 вокселей для доноров)
-Сохранение в буфер (для долгого рендера)
-Поддержка анимации.
Кроме того начиная с версии EX V в программу включено приложение Geometrica, специально разработанное для экспорта трёхмерных фракталов из Incendia в другие редакторы 3D графики.
Как уже было упомянуто, программа бесплатная, постоянно развивается и обновляется и автор просит всех желающих делать пожертвования, для дальнейшего развития программы!
Оф.

сайт: http://www.incendia.net/index.htmlChaoscope является программным средством рендеринга 3D странных аттракторов. Это непрерывный проект, созданный и поддерживаемый Николя Desprez, текущая версия 0.3.1. Она является бесплатной, работающей на платформе Windows, Linux. Официальный сайт: перейти

ChaosPro бесплатный генератор в режиме реального времени фрактальный генератор для MS Windows с поддержкой различных фрактальных типов (2D и 3D), истинная поддержка цветов, с поддержкой анимации. Благодаря встроенному компилятору довольно быстр, возможность написания собственных формул. официальный сайт: перейти

Sterling является фракталогенератором, написанным на языке программирования C в 1999 году для Microsoft Windows Стивен С. Фергюсон. Sterling2 это бесплатная версия с различными алгоритмами генерации. Он был выпущен в сентябре 2008 года Tad Boniecki. Помимо названия, программа выглядит так же, как оригинал, имеется дополнительно 50 формул для фрактальной генерации. Файлы, созданные Sterling могут быть использованы в Sterling2 и наоборот, хотя они будут показывать разные образы.

Sterling основан на том, что в нем используются интересные фильтры для фрактальных изображений с помощью сложных параметров цвета и тени. Sterling имеет простой графический интерфейс с ограниченным числом функций. Программа сохраняет файлы JPEG, BMP или один из шести других форматах.официальный сайт: перейти

Fractron 9000 является высокопроизводительным генератором фракталов для визуализации в среде Windows. Работает по алгоритму FractalFlames/
Fractron 9000 использует преимущества современных программируемых графических процессоров lдля значительного ускорения рендеринга. Пользователи имеющие поддержку CUDA и OpenCL видео оборудования смогут генерировать фрактальные изображения в режиме реального времени. Некоторые примеры изображений, созданных с Fractron приведены ниже. (взяты с официального сайта). Пользовательский интерфейс написан на C #, сообщается с OpenCL и CUDA через собственные пользовательские библиотеки совместимости. Fractron использует OpenGL для отображения фракталов.
официальный сайт: http://fractron9000.sourceforge.net/index.html

Приложение для iPhone, iPod Touch, iPad, Fractals с помощью данной программы можно исследовать и визуализировать множество Мандельброта и Жюлиа в реальном времени!
Результаты можно сохранить и поделиться с друзьями.
ПРиобрести программу можно на the App Store!™

Fractal Science Kit — фрактальный генератор для Windows, который создает фрактальные изображения из набора свойств, которые можно установить для контроля фрактального процесса генерации. Пример свойства включают в себя тип фрактала, размер изображения и параметров для контроля орбиты генрации, нормализация данных, передискретизации, сглаживание, гамма-коррекция и т.д. Вы можете работать с множеством встроенных алгоритмов (программ) или разработать свой собственный с использованием интерактивной средой программирования. фрактальный генератор поддерживает сотни встроенных уравнений, преобразования орбиты ловушки, контроллеры, позволяющие обычным пользователям создавать великолепные фрактальные изображения, обеспечивая при этом опытным разработчиком богатый набор иллюстративных примеров, на которых строится его собственные программы (алгоритмы). Более 60000 строк исходного кода для встроенных фрактальных программ и встроенных макросов (встроенных функций / методов) доступны через браузер, программы и редактор макросов.поддерживает 3 основные фрактальные типы:

Мандельброт Fractals Orbital Fractals L-система Fractals и другие: Mandelbrot, Julia, Convergent, Newton, Orbit Traps, Sierpinski Triangle, IFS, Strange Attractors, Rep-N Tiles, Symmetric Icons, Symmetric Attractors, Frieze Group Attractors, Wallpaper Group Attractors, Hyperbolic Attractors, Apollonian Gasket, Circle Inversion, Mobius Dragon IFS, Mobius Patterns, Grand Julian IFS, Elliptic Splits IFS, Schottky Group, Kleinian Group, L-System…

Visions Of Chaos является профессиональным прикладным программным обеспечением для Windows. Он достаточно прост для людей, которые не понимают математику за ним, но достаточно развиты для фрактальных энтузиастов. Это наиболее полное все в одном приложение связанные с теорией хаоса. Поддерживает визуализацию видео. В программу включены сотни прмеров.

Алгоритмы компьютерной графики

Понятия фракталы, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает “состояние из фрагментов”. Оно было предложено математиком Бенуа Мандельбромом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. В его работе использованы научные результаты других ученых, работавших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Из всех типов фракталов наиболее наглядными являются геометрические фракталы. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называется генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломанную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга.
Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Например, снежинка несет информацию о снежном сугробе, а горный камень имеет те же самые очертания, и что и горный хребет. Благодаря тому свойству мы можем использовать фракталы для генерирования поверхности местности, которая походит на саму себя, независимо от масштаба, в котором она отображена. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью некоторых математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.
Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, использующего произвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу. С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной геометрии найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.
Геометрические фракталы на экране компьютера – это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Они очень красивы, необычны и интересны. Многие художники на Западе (например, Мелиса, Бинде) рассматривают фракталы как новый вид компьютерного искусства. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Создатель фракталов – это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности — Painter) от прочих графических программ. Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

Что такое фрактал? — Определение из Техопедии

Что означает фрактал?

Фракталы представляют собой сложные модели, которые самоподобны и, следовательно, демонстрируют сходные модели в любом масштабе. Фракталы могут быть узорами или формами, которые не являются правильными и отличаются от традиционных геометрических фигур, но очень часто встречаются в природе, например облака, горы, деревья и снежинки. Наиболее известной иллюстрацией фракталов является множество Мандельброта, которое при увеличении просто показывает повторения одного и того же паттерна, что затрудняет определение уровня увеличения из-за повторяющихся паттернов.

Techopedia объясняет фрактал

Фрактальная геометрия считается особой областью математики просто потому, что фракталы имеют совсем другие математические уравнения, чем обычная геометрия. Явление изучалось сотни лет, но фракталы в значительной степени игнорировались как «математические монстры» из-за незнакомости, поскольку они сильно отличаются от установленной геометрии. Математика, стоящая за фракталами, началась в 17 веке, когда математик Готфрид Лейбниц начал изучать рекурсивное самоподобие и использовал термин «дробные показатели» для их описания, но только в 1872 году Карл Вейерштрасс представил первое определение функции с графиком. что можно считать фракталом по сегодняшнему определению.

Еще одна веха в фрактальной геометрии наступила, когда Хельге фон Кох предложил более геометрический подход к идее фракталов с нарисованным от руки изображением, которое теперь называется снежинкой Коха. Фрактал снежинки Коха начинается как равносторонний треугольник, а затем итеративно заменяет среднюю треть каждой линии другим равносторонним треугольником, хотя и меньшим, потому что длина каждой стороны равна 1/3 исходной линии, на которой она находится. Это может продолжаться бесконечно или до тех пор, пока это физически возможно на носителях, где это проиллюстрировано, что при моделировании с помощью компьютера может практически простираться до бесконечности.Термин «фрактал» был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Сегодня фрактальные исследования в основном основаны на компьютере из-за их природы и находят применение в общей математике, компьютерном моделировании, обработке изображений и графики. Исследователи постулировали, что, поскольку в прошлом не было компьютеров, ранние исследователи явлений были очень ограничены в способах изображения фракталов, поэтому им не хватало средств, чтобы по-настоящему визуализировать их и оценить их значение.

Что такое фрактал? — Определение из WhatIs.

com От

Фрактал — это неправильная геометрическая фигура, имеющая одинаковую степень нерегулярности на всех масштабах. Фракталы можно рассматривать как бесконечные паттерны.

Как камень у подножия холма может напоминать в миниатюре гору, с которой он первоначально рухнул, так и фракталы самоподобны, смотришь ли ты на них вблизи или очень далеко. Термин «фрактал» был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году.Оно происходит от латинского fractus , что означает неровную поверхность, подобную поверхности разбитого камня.

Фракталы — это формы, которые мы видим в природе. Мы можем описать прямоугольный треугольник с помощью теоремы Пифагора, но найти прямоугольный треугольник в природе — совсем другое дело. В природе мы находим деревья, горы, скалы и облака, но какова геометрическая формула облака? Как мы можем определить форму ложки сливок в чашке кофе? Фрактальная геометрия, теория хаоса и сложная математика пытаются ответить на подобные вопросы. Наука продолжает открывать удивительно последовательный порядок, стоящий за самыми, казалось бы, хаотичными явлениями во Вселенной.

Математики пытались описать фрактальные формы более ста лет, но благодаря вычислительной мощности и возможностям обработки изображений современных компьютеров фракталы приобрели новую популярность, поскольку их можно визуализировать в цифровом виде и исследовать во всей их завораживающей красоте. Фракталы используются в школах в качестве наглядного пособия при обучении математике, а также в нашей массовой культуре в качестве компьютерных поверхностей для ландшафтов и планетарных поверхностей в киноиндустрии.Использование алгоритмов для создания фракталов может создавать сложные визуальные паттерны для приложений компьютерной графики (CGI).

См. несколько примеров фрактальных изображений.

Последний раз это было обновлено в августе 2016 года.

Продолжить чтение о фрактале
Фрактальная геометрия | Encyclopedia.
com
Ресурсы
Фрактал — это геометрическая фигура, которую часто характеризуют как самоподобную; то есть неправильный, сломанный, фрагментированный или слабо связанный внешний вид.Фракталы использовались сотни, а то и тысячи лет назад, но фракталами их не называли. Это были рисунки, содержащиеся в искусстве и ремеслах, в рисунках ковров и расписных полов и потолков, а также во многих предметах, используемых в повседневной жизни. Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) разработал концепции, которые в конечном итоге помогли определить фракталы. Немецкий математик Карл Вейерштрасс (1815–1897) в 1872 году проанализировал и начертил график функции, которая сегодня считается фракталом. Позже, в 1904 году, шведский математик Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924) усовершенствовал работу Вейерштрасса и определил другую функцию, которую сейчас называют снежинкой Коха.
Польско-французский математик Бенуа Б. Мандельброт (1924–) ввел термин «фрактал» для описания таких фигур, получив это слово от латинского fractus, означающего сломанный, фрагментированный или неправильный. Он также указал на удивительное внешнее сходство между некоторыми фрактальными наборами и многими естественными геометрическими узорами. Таким образом, термин природный фрактал относится к природным явлениям, которые
подобны фрактальным наборам, таким как путь, по которому движется частица пыли, когда она подпрыгивает в воздухе.
Другим хорошим примером природного явления, похожего на фрактал, является береговая линия, поскольку она обладает тремя важными свойствами, типичными для фракталов. Во-первых, береговая линия неправильная, состоит из заливов, гаваней и полуостровов. Во-вторых, неравномерность в основном одинакова на всех уровнях увеличения. Если смотреть с орбиты высоко над Землей, с вертолета или с суши, смотреть невооруженным глазом или через увеличительное стекло, каждая береговая линия похожа сама на себя.Хотя узоры не совсем одинаковы на каждом уровне увеличения, основные черты береговой линии наблюдаются на каждом уровне. В-третьих, длина береговой линии зависит от увеличения, при котором она измеряется. Измерение длины береговой линии по снимку, сделанному из космоса, даст только оценку длины, потому что многие мелкие заливы и полуострова не появятся, а длины их периметров будут исключены из оценки.
Более точную оценку можно получить, используя фотографию, сделанную с вертолета.Некоторые детали по-прежнему будут отсутствовать, но многие детали, отсутствующие на космическом снимке, будут включены, поэтому оценка будет длиннее и ближе к тому, что можно было бы назвать фактической длиной береговой линии. Эту оценку можно улучшить, пройдясь по береговой линии с шагомером. Опять же, в результате получится более длинное измерение, возможно, более близкое к фактической длине, но все же оценка, потому что многие части береговой линии состоят из камней и гальки, длина которых меньше, чем длина среднего шага.Более точные оценки можно получить, увеличивая уровень увеличения, и каждое последующее измерение будет находить береговую линию длиннее. В конце концов, уровень увеличения должен достигать атомного или даже ядерного разрешения, чтобы можно было измерить неровности каждой песчинки, каждого комка грязи и каждой крошечной гальки, пока длина не станет казаться бесконечной. Этот проблематичный результат предполагает, что длина каждой береговой линии одинакова.
Решение проблемы заключается в том факте, что фракталы должным образом охарактеризованы с точки зрения их размерности, а не их длины, площади или объема, причем типичные фракталы описываются как имеющие размерность, не являющуюся целым числом.Чтобы объяснить, как это может происходить, необходимо рассмотреть значение размерности. Понятие размерности восходит к древним грекам, возможно, еще к Пифагору (582–500 гг. До н.э.), но, по крайней мере, к греческому математику Евклиду Александрийскому (ок. 325–ок. 265 до н.э.) и его книгам по геометрии. Интуитивно математики думают, что размерность равна количеству координат, необходимых для описания объекта. Например, линия имеет размерность 1, квадрат имеет размерность 2, а куб имеет размерность 3.Это называется топологической размерностью.
Однако между 1875 и 1925 годами математики поняли, что для понимания чрезвычайно нерегулярных и фрагментированных множеств необходимо более строгое определение размерности. Они обнаружили, что ни одно определение размерности не является полным и полезным во всех обстоятельствах. Таким образом, сегодня остается несколько определений размерности. Среди них размерность Хаусдорфа, предложенная немецким математиком Феликсом Хаусдорфом (1868–1942), приводит к дробным размерам, когда объект является фракталом, но совпадает с топологическим значением размерности для правильных геометрических фигур.Он основан на увеличении длины, площади или объема, которое измеряется, когда фрактальный объект увеличивается на фиксированный масштабный коэффициент. Например, размер береговой линии по Хаусдорфу определяется как D = log (увеличение длины)/log (масштабный коэффициент). Если длина береговой линии увеличивается в четыре раза всякий раз, когда она увеличивается в три раза, то ее размер Хаусдорфа определяется как log (увеличение длины) / log (масштабный коэффициент) = log (4) / log (3). = 1,26. Таким образом, это не
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ
Измерение — Интуитивно, размерность фигуры — это количество координат, необходимых для ее описания, таких как линия (один), квадрат (два) или куб (три). Однако существуют и другие определения размерности, основанные на строгих определениях меры множества. Одним из таких измерений является измерение Хаусдорфа, которое применяется к фрактальным множествам.
Масштабный коэффициент — Масштабный коэффициент — это константа, равная отношению двух пропорциональных длин, площадей или объемов. Ее также называют константой пропорциональности.
Подобие — Две геометрические фигуры называются подобными, если их соответствующие формы одинаковы, но соответствующие измерения находятся в той же пропорции или имеют одинаковый масштабный коэффициент.
длина, которая должным образом характеризует береговую линию, но ее измерение Хаусдорфа. Наконец, фрактальное множество определяется как множество точек на линии, плоскости или в пространстве, имеющих разрозненный или неправильный вид на всех уровнях увеличения, с размерностью Хаусдорфа, строго превышающей ее топологическую размерность. .
Большой интерес к фрактальным наборам связан с тем, что большинство природных объектов больше похожи на фракталы, чем на обычные геометрические фигуры. Например, облака, деревья и горы больше похожи на фрактальные фигуры, чем на круги, треугольники или пирамиды. Таким образом, фрактальные наборы используются геологами для моделирования извилистых путей рек и скальных образований гор, ботаниками для моделирования ветвей деревьев и кустарников, астрономами для моделирования распределения массы во Вселенной, физиологами для моделирования системы кровообращения человека, физиками и инженерами для моделирования турбулентности в жидкостях и экономистами для моделирования фондового рынка и мировой экономики.Часто фрактальные наборы можно генерировать по довольно простым правилам. Например, фрактальную пыль можно получить, начав с линейного сегмента и удалив центральную треть, затем удалив центральную треть оставшихся двух сегментов, затем центральную треть этих оставшихся сегментов и так далее.
Подобные правила генерации легко реализуются и графически отображаются на компьютерах. Поскольку некоторые наборы фракталов напоминают горы, острова или береговые линии, а другие кажутся облаками или снежинками, фракталы стали важными в графическом искусстве и создании специальных эффектов. Например, фальшивые миры, сгенерированные компьютером, используются в научно-фантастических фильмах и телесериалах, на DVD (цифровых универсальных дисках) и в видеоиграх, потому что они легко генерируются из набора инструкций, занимающих относительно небольшой объем памяти компьютера.
КНИГИ
Димри В.П., изд. Фрактальное поведение Земли . Берлин, Германия: Springer-Verlag, 2005.
Фальконер, Кеннет Дж. Фрактальная геометрия: математические основы и приложения .Чичестер, Великобритания, и Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, 2003.
Стивенс, Роджер Т. Создание фракталов . Hingham, MA: Charles River Media, 2005.
J. R. Maddocks
The Gale Encyclopedia of Science Maddocks, J.
Gale Apps — Технические трудности
Технические трудности
Приложение, к которому вы пытаетесь получить доступ, в настоящее время недоступно. Приносим свои извинения за доставленные неудобства. Повторите попытку через несколько секунд.
Если проблемы с доступом сохраняются, обратитесь за помощью в наш отдел технической поддержки по телефону 1-800-877-4253. Еще раз спасибо, что выбрали Gale, обучающую компанию Cengage.
org.springframework.remoting.RemoteAccessException: невозможно получить доступ к удаленной службе [authorizationService@theBLISAuthorizationService]; вложенным исключением является Ice.Неизвестное исключение unknown = «java.lang.IndexOutOfBoundsException: индекс 0 выходит за границы для длины 0 в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBounds(Preconditions.java:64) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBoundsCheckIndex(Preconditions.java:70) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.checkIndex(Preconditions.java:248) в java.base/java. util.Objects.checkIndex(Objects.java:372) на Яве.база/java.util.ArrayList.get(ArrayList.java:458) в com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.populateSessionProperties(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.java:60) в com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.reQuery(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.java:53) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupEntitlementsManager.reinitializeUserGroupEntitlements(UserGroupEntitlementsManager.ява:30) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupSessionManager.getUserGroupEntitlements(UserGroupSessionManager.java:17) в com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getProductSubscriptionCriteria(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:244) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher. getSubscribedCrossSearchProductsForUser(CrossSearchProductContentModuleFetcher.ява:71) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getAvailableContentModulesForProduct(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:52) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.AbstractProductEntryAuthorizer.getContentModules(AbstractProductEntryAuthorizer.java:130) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.isAuthorized(CrossSearchProductEntryAuthorizer.ява:82) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.authorizeProductEntry(CrossSearchProductEntryAuthorizer.java:44) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.ProductEntryAuthorizer.authorize(ProductEntryAuthorizer.java:31) в com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody0(BLISAuthorizationServiceImpl. java:57) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody1$advice(BLISAuthorizationServiceImpl.ява: 61) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize(BLISAuthorizationServiceImpl.java:1) на com.gale.blis.auth._AuthorizationServiceDisp._iceD_authorize(_AuthorizationServiceDisp.java:141) в com.gale.blis.auth._AuthorizationServiceDisp._iceDispatch(_AuthorizationServiceDisp.java:359) в IceInternal.Incoming.invoke(Incoming.java:209) в Ice.ConnectionI.invokeAll(ConnectionI.java:2800) на льду.ConnectionI.dispatch(ConnectionI.java:1385) в Ice.ConnectionI.message(ConnectionI.java:1296) в IceInternal.ThreadPool.run(ThreadPool.java:396) в IceInternal.ThreadPool.access$500(ThreadPool.java:7) в IceInternal.ThreadPool$EventHandlerThread.run(ThreadPool.java:765) в java.base/java.lang.Thread. run(Thread.java:834) » org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.convertIceAccessException(IceClientInterceptor.java:365) org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.invoke(IceClientInterceptor.java:327) org.springframework.remoting.ice.MonitoringIceProxyFactoryBean.invoke(MonitoringIceProxyFactoryBean.java:71) org.springframework.aop.framework.ReflectiveMethodInvocation.proceed(ReflectiveMethodInvocation.java:186) org.springframework.aop.framework.JdkDynamicAopProxy.invoke(JdkDynamicAopProxy.java:212) com.sun.proxy.$Proxy130.authorize(Неизвестный источник) com.gale.auth.service.BlisService.getAuthorizationResponse(BlisService.java:61) com.gale.apps.service.impl.MetadataResolverService.resolveMetadata(MetadataResolverService.java:65) com.gale.apps.controllers.DiscoveryController.resolveDocument(DiscoveryController.java:57) ком.gale.apps.controllers.DocumentController.redirectToDocument(DocumentController. java:22) jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor252.invoke (неизвестный источник) java.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43) java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566) org.springframework.web.method.support.InvocableHandlerMethod.doInvoke(InvocableHandlerMethod.ява: 215) org.springframework.web.method.support.InvocableHandlerMethod.invokeForRequest(InvocableHandlerMethod.java:142) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.ServletInvocableHandlerMethod.invokeAndHandle(ServletInvocableHandlerMethod.java:102) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.invokeHandlerMethod (RequestMappingHandlerAdapter.java:895) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.handleInternal (RequestMappingHandlerAdapter.java:800) org.springframework.web.servlet.mvc.method.AbstractHandlerMethodAdapter.handle(AbstractHandlerMethodAdapter. java:87) org.springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doDispatch(DispatcherServlet.java:1038) org.springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doService(DispatcherServlet.java:942) орг.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.processRequest(FrameworkServlet.java:998) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.doGet(FrameworkServlet.java:890) javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:626) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.service(FrameworkServlet.java:875) javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:733) орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:227) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.tomcat.websocket.server.WsFilter.doFilter(WsFilter.java:53) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain. ява: 162) org.apache.catalina.filters.HttpHeaderSecurityFilter.doFilter(HttpHeaderSecurityFilter.java:126) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.servlet.resource.ResourceUrlEncodingFilter.doFilter(ResourceUrlEncodingFilter.java:63) орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) org.apache.catalina.core. ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:101) орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:130) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.access$000(ErrorPageFilter.java:66) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter$1.doFilterInternal(ErrorPageFilter.java:105) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:123) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain. java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.ява: 162) org.springframework.boot.actuate.web.trace.servlet.HttpTraceFilter.doFilterInternal(HttpTraceFilter.java:90) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) орг.springframework.web.filter.RequestContextFilter.doFilterInternal (RequestContextFilter.java: 99) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.FormContentFilter.doFilterInternal (FormContentFilter.java: 92) org.springframework.web.filter. OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.HiddenHttpMethodFilter.doFilterInternal (HiddenHttpMethodFilter.ява:93) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.filterAndRecordMetrics(WebMvcMetricsFilter.java:154) орг.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.filterAndRecordMetrics(WebMvcMetricsFilter.java:122) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.doFilterInternal(WebMvcMetricsFilter. java:107) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) орг.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.CharacterEncodingFilter.doFilterInternal (CharacterEncodingFilter.java:200) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:107) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.catalina.core.StandardWrapperValve.invoke(StandardWrapperValve.java:202) org.apache.catalina.core.StandardContextValve.invoke(StandardContextValve.java:97) org.apache.catalina.authenticator.AuthenticatorBase.invoke(AuthenticatorBase.java:542) org.apache.catalina.core.StandardHostValve.invoke(StandardHostValve. java:143) org.apache.каталина.клапаны.ErrorReportValve.invoke(ErrorReportValve.java:92) org.apache.catalina.valves.AbstractAccessLogValve.invoke(AbstractAccessLogValve.java:687) org.apache.catalina.core.StandardEngineValve.invoke(StandardEngineValve.java:78) org.apache.catalina.connector.CoyoteAdapter.service(CoyoteAdapter.java:357) org.apache.coyote.http11.Http11Processor.service(Http11Processor.java:374) орг.apache.койот.AbstractProcessorLight.process(AbstractProcessorLight.java:65) org.apache.coyote.AbstractProtocol$ConnectionHandler.process(AbstractProtocol.java:893) org.apache.tomcat.util.net.NioEndpoint$SocketProcessor.doRun(NioEndpoint.java:1707) org.apache.tomcat.util.net.SocketProcessorBase.run(SocketProcessorBase.java:49) java.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor.runWorker(ThreadPoolExecutor.java:1128) Ява.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor$Worker.run(ThreadPoolExecutor.java:628) org.apache.tomcat.util.threads.TaskThread$WrappingRunnable.run(TaskThread. java:61) java.base/java.lang.Thread.run(Thread.java:834)
фракталов — Хаос и фракталы
Фракталы
Проще говоря, фрактал — это геометрический объект, похожий на себя во всех масштабах.Если вы увеличите масштаб фрактального объекта, он выглядеть так же или точно так же, как оригинальная форма. Это свойство называется самоподобием. Примером самоподобного объекта является треугольник Серпенского показан ниже.
Если приглядеться, мы заметим, что большой треугольник состоит из три меньших треугольника вдвое меньше (длина стороны) оригинала, которые, в свою очередь, состоят из трех меньших треугольников и так далее, и так далее. Во всех масштабах треугольник Серпенского точно самоподобный объект.
Свойство самоподобия или скейлинга тесно связано с понятие размерности. На самом деле название «фрактал» происходит от свойства что фрактальные объекты имеют дробную размерность .
Одномерный сегмент линии имеет свойство масштабирования, подобное что из фракталов. Если разделить отрезок на N идентичные части, каждая часть будет уменьшена в соотношении r = 1/ N (например, разрезать линию на две равные части штук, и у вас есть две линии, каждая из которых имеет половину исходной длины).Точно так же можно разделить двумерный объект, например квадрат. на самоподобные части N , причем каждая часть уменьшена на коэффициент r = 1/ N ^(1/2) (т.е. если вы разрежете квадрат на 4 квадрата одинакового размера, то каждый новый квадрат вдвое меньше (длина стороны) исходного квадрата).
Понятие самоподобия естественным образом приводит к обобщению к дробной размерности. Если разделить самоподобную D-мерную объект на N меньших копий самого себя, каждая копия будет уменьшено в r раз, где
r = 1 / N ^{(1/ D )}
Теперь, учитывая самоподобный объект из частей N в уменьшенном масштабе множителем r мы можем вычислить его фрактальную размерность (также называемая размерностью подобия) из приведенного выше уравнения как
D = лог ( N ) / лог (1/ r )
В качестве примера вычислим размерность знаменитой кривой фон Коха, которую иногда называют «снежинкой Коха». » Снежинка Коха создается простым рекурсивным геометрическим процедура:
разделить отрезок на три равные части
удалить средний сегмент (= 1/3 исходного сегмента линии)
замените средний отрезок двумя отрезками одинаковой длины (= 1/3 исходного отрезка) так, чтобы все они соединялись (т. е. 3 соединительных отрезка длиной 1/3 становятся 4 соединительными отрезками длиной 1/3).
Чтобы завершить форму, описанная выше процедура повторяется бесконечно. на каждом отрезке на стороне треугольника.Изображения, показывающие процедура и полная снежинка Коха показаны ниже.
Его фрактальная размерность дается из определения кривой: N = 4 и r = 1/3 (помните 4 сегмента, каждый размером 1/3 размера исходного сегмента линии).
Размерность = логарифм (4) / логарифм (3) = 1,26
Еще одним интересным свойством снежинки Коха является то, что она ограничивает конечную площадь с бесконечным периметром.
Фрактал — Академические дети
От академических детей
Множество Мандельброта, названное в честь его первооткрывателя, является известным примером фрактала.
Шаблон: Разговорная Википедия Фрактал — это геометрический объект, который является грубым или неправильным во всех масштабах длины и, таким образом, кажется радикальным образом «разбитым». Некоторые из лучших примеров можно разделить на части, каждая из которых похожа на исходный объект. Говорят, что фракталы обладают бесконечной детализацией, и на самом деле они могут иметь самоподобную структуру, которая возникает при разных уровнях увеличения. Во многих случаях фрактал может быть сгенерирован повторяющимся паттерном в типично рекурсивном или итеративном процессе.Термин фрактал был введен в 1975 году Бенотом Мандельбротом от латинского fractus или «сломанный». До того, как Мандельброт ввел свой термин, общее название таких структур (например, снежинки Коха) было кривая монстра .
Фракталы многих видов изначально изучались как математические объекты. Фрактальная геометрия — раздел математики, изучающий свойства и поведение фракталов. Он описывает множество ситуаций, которые не могут быть легко объяснены с помощью классической геометрии, и часто применяется в науке, технике и компьютерном искусстве.Концептуальные корни фракталов можно проследить до попыток измерить размер объектов, для которых традиционные определения, основанные на евклидовой геометрии или исчислении, не работают.
История
Снежинка Коха — результат бесконечного добавления треугольников к периметру исходного треугольника. Каждый раз, когда добавляются новые треугольники (итерация), периметр растет и сходится к бесконечности.
Дополнения к классическому анализу
Объекты, которые сейчас называются фракталами, были обнаружены и исследованы задолго до того, как появилось это слово.В 1872 году Карл Вейерштрасс нашел пример функции с неинтуитивным свойством, заключающимся в том, что она везде непрерывна, но нигде не дифференцируема — теперь график этой функции назвали бы фракталом. В 1904 году Хельге фон Кох, недовольный очень абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение аналогичной функции, которую теперь называют снежинкой Коха. Идею самоподобных кривых развил Поль Пьер Леви, который в своей статье 1938 года «Плоские или пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому» , описал новую фрактальную кривую, кривую Lvy C.
Георг Кантор привел примеры подмножеств реальной линии с необычными свойствами — эти канторовские множества теперь также признаны фракталами. Повторяющиеся функции на комплексной плоскости исследовались в конце 19-го и начале 20-го веков Анри Пуанкаре, Феликсом Кляйном, Пьером Фату и Гастоном Джулией. Однако без помощи современной компьютерной графики им не хватало средств для визуализации красоты открытых ими объектов.
Аспекты описания набора
В попытке понять такие объекты, как множества Кантора, такие математики, как Константин Каратодори и Феликс Хаусдорф, обобщили интуитивное понятие размерности, включив в него нецелочисленные значения. Это было частью общего движения первой половины двадцатого века по созданию описательной теории множеств; то есть продолжение направления исследований Кантора, сумевшего каким-то образом классифицировать множества точек в евклидовом пространстве. Определение размерности Хаусдорфа носит геометрический характер, хотя технически оно основано на инструментах математического анализа. Это направление было подхвачено, среди прочих, Безиковичем; по своему характеру она отличается от логических исследований, составлявших большую часть дескриптивной теории множеств 1920-х и 1930-х годов.Обе эти области занимались некоторое время спустя, но в основном специалистами.
Вклады Мандельброта
В 1960-х годах Бенот Мандельброт начал исследовать самоподобие в таких статьях, как Какова длина побережья Британии? Статистическая самоподобие и дробная размерность . Это основано на более ранней работе Льюиса Фрая Ричардсона. Используя очень наглядный подход, Мандельброт обнаружил связи между этими ранее не связанными направлениями математики. В 1975 году Мандельброт ввел слово фрактал для описания самоподобных объектов, не имеющих четкого измерения. Слово фрактал он вывел из латинского fractus , означающего сломанный или неправильный , а не от слова дробный , как принято считать. Однако само дробное в конечном итоге также получено из fractus .
Когда компьютерная визуализация была применена к фрактальной геометрии, она представила мощный визуальный аргумент в пользу фрактальной геометрии, соединяющий гораздо более широкие области математики и науки, чем считалось ранее, особенно в области нелинейной динамики, теории хаоса (хотя некоторые вместо этого используйте термин xaos , чтобы провести различие между упорядоченным нелинейным поведением и общим значением этого слова) и сложностью.Одним из примеров является построение метода Ньютона в виде фрактала, показывающее, что границы между различными решениями являются фрактальными и что сами решения являются странными аттракторами. Фрактальная геометрия также использовалась для сжатия данных и для моделирования сложных органических и геологических систем, например роста деревьев или развития речных бассейнов.
Категории фракталов
Отсутствующее изображение
Аналог Мандельброта2.png
Увеличение в 4 раза
350-кратное увеличение набора Мандельброта раскрывает мелкие детали, напоминающие полный набор.
Фракталы можно разделить на три большие категории. Эти категории определяются тем, как определяется или генерируется фрактал:
Итерированные функциональные системы — Они имеют фиксированное геометрическое правило замены. Множество Кантора, ковер Серпинского, прокладка Серпинского, кривая Пеано, снежинка Коха, кривая дракона Хартера-Хайуэя, Т-квадрат, губка Менгера — вот некоторые примеры таких фракталов.
Фракталы, определяемые рекуррентным соотношением в каждой точке пространства (например, комплексной плоскости). Примерами этого типа являются множество Мандельброта и фрактал Ляпунова. Их также называют фракталами времени выхода .
Случайные фракталы , генерируемые случайными, а не детерминированными процессами, например, фрактальные ландшафты и полеты Лви.
Фракталы также можно классифицировать по их самоподобию. Во фракталах встречаются три типа самоподобия:
Точное самоподобие — это самый сильный тип самоподобия; фрактал кажется одинаковым в разных масштабах.Фракталы, определяемые повторяющимися функциональными системами, часто демонстрируют точное самоподобие.
Квазисамоподобие — это свободная форма самоподобия; фрактал кажется примерно (но не точно) одинаковым в разных масштабах. Квазисамоподобные фракталы содержат уменьшенные копии всего фрактала в искаженной и вырожденной форме. Фракталы, определяемые рекуррентными соотношениями, обычно квазисамоподобны, но не совсем самоподобны.
Статистическое самоподобие — это самый слабый тип самоподобия; фрактал имеет числовые или статистические меры, которые сохраняются в масштабах. Большинство разумных определений «фрактала» тривиально подразумевают некоторую форму статистического самоподобия. (Сама фрактальная размерность — это числовая мера, которая сохраняется в разных масштабах.) Случайные фракталы — это примеры фракталов, которые статистически самоподобны, но не точны и не квазисамоподобны.
Следует отметить, что не все самоподобные объекты являются фракталами — например, реальная линия (прямая евклидова линия) в точности самоподобна, но аргумент о том, что евклидовы объекты являются фракталами, занимает явное меньшинство.Мандельброт утверждал, что определение «фрактала» должно включать не только «настоящие» фракталы, но и традиционные евклидовы объекты, потому что иррациональные числа на числовой прямой представляют собой сложные неповторяющиеся свойства.
Поскольку фрактал обладает бесконечной степенью детализации, ни один природный объект не может быть фракталом. Однако природные объекты могут проявлять фрактальные свойства в ограниченном диапазоне масштабов.
Определения
Определяющие характеристики фракталов, хотя и привлекательны интуитивно, чрезвычайно трудно свести к математически точному определению.Мандельброт определил фрактал как «множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность». Для полностью самоподобного фрактала размерность Хаусдорфа равна размерности Минковского-Булигана.
Проблемы с определением фракталов включают:
Нет точного значения слова «слишком неправильный».
Единого определения «измерения» не существует.
Существует много способов, которыми объект может быть самоподобным.
Не каждый фрактал определяется рекурсивно.
Примеры
Деревья и папоротники имеют фрактальную природу и могут быть смоделированы на компьютере с помощью рекурсивного алгоритма. Эта рекурсивность ясна в этих примерах — возьмите ветку с дерева или ветвь папоротника, и вы увидите, что это миниатюрная копия целого: не идентичная, но похожая по своей природе.
Относительно простой класс примеров — множества Кантора, в которых короткие, а затем еще более короткие (открытые) интервалы вычеркиваются из единичного интервала [0, 1], оставляя множество, которое может (а может и не быть) на самом деле самостоятельным. аналогичен при увеличении и может (или не может) иметь размер d , который имеет 0 < d < 1.Простой рецепт, такой как исключение цифры 7 из десятичных разложений, является самоподобным при 10-кратном увеличении, а также имеет размерность log 9/log 10 (это значение одинаково, независимо от того, какое логарифмическое основание выбрано). , показывая связь двух понятий.
Фракталы обычно имеют неправильную ( не гладкую ) форму и поэтому не являются объектами, определяемыми традиционной геометрией. Это означает, что фракталы, как правило, содержат значительные детали, видимые в любом произвольном масштабе; когда есть самоподобие, это может произойти, потому что «увеличение масштаба» просто показывает похожие изображения. Такие наборы обычно определяются рекурсией.
Например, нормальная евклидова форма, такая как круг, при увеличении выглядит все более и более плоской. При бесконечном увеличении было бы невозможно отличить круг от прямой линии. Фракталы не такие. Традиционное представление о кривизне, которая представляет собой обратную величину радиуса аппроксимирующей окружности, не может применяться с пользой, потому что она уменьшается. Вместо этого с фракталом увеличение увеличения показывает больше деталей, которые ранее были невидимы.
Некоторые распространенные примеры фракталов включают множество Мандельброта, фрактал Ляпунова, множество Кантора, прокладку и ковер Серпинского, губку Менгера, кривую дракона, кривую Пеано и кривую Коха. Фракталы могут быть детерминированными или стохастическими. Хаотические динамические системы часто (если не всегда) связаны с фракталами. Множество Мандельброта содержит целые диски, поэтому имеет размерность 2. Это неудивительно. Что действительно удивительно, так это то, что граница множества Мандельброта также имеет размерность Хаусдорфа, равную 2.
Приближенные фракталы легко найти в природе. Эти объекты имеют сложную структуру в расширенном, но ограниченном диапазоне масштабов. Эти встречающиеся в природе фракталы (например, облака, горы, речные сети и системы кровеносных сосудов) имеют как нижнюю, так и верхнюю границы отсечки, но они разделены на несколько порядков. Несмотря на повсеместное распространение, фракталы почти не изучались вплоть до двадцатого века, а общие определения появились позже.
Харрисон [1] ( http://math.berkeley.edu/~harrison/research/publications/ ) распространил ньютоновское исчисление на фрактальные области, включая теоремы Гаусса, Грина и Стокса.
Фракталы обычно рассчитываются компьютерами с программным обеспечением для фракталов. См. список ниже.
Случайные фракталы имеют наибольшее практическое применение, потому что их можно использовать для описания многих очень нерегулярных объектов реального мира. Примеры включают облака, горы, турбулентность, береговые линии и деревья. Фрактальные методы также использовались для сжатия фрактальных изображений, а также в различных научных дисциплинах.
Множество Жюлиа, фрактал, связанный с множеством Мандельброта.
Разделение двух покрытых клеем акриловых листов образует естественный фрактал.
Фрактальное разветвление происходит на DVD, облученном микроволновым излучением
брокколи романеско с очень тонкими природными фракталами
Фрактал, напоминающий цветок
Генераторы фракталов
Мультиплатформенный
Fractint — доступен для большинства платформ
Xaos ( http://xaos.sourceforge.net/) — Генератор реального времени — Windows, Mac, Linux и т. д.
FLAM3 ( http://flam3.com/ ) — усовершенствованный конструктор повторяющихся функций и визуализатор для всех платформ.
Fract ( http://fract.ygingras.net ) — веб-приложение для фрактального масштабирования.
Linux
Gnofract4d ( http://gnofract4d.sourceforge.net/ ) — интерактивный редактор, который может использовать множество формул фрактинта.
Окна
Список генераторов фракталов Fractovia ( http://www.fractovia.org/fractal_generators/index.shtml ) — достаточно полный список бесплатных генераторов фракталов.
Онлайн-генератор фракталов ( http://www.wackerart.de/fractal.html ) Требуется подключаемый модуль Java.
Ultra Fractal ( http://www.ultrafractal.com/ ) — популярная программа для Microsoft Windows
ChaosPro ( http://www.chaospro.de ) — для Microsoft Windows
MSPlotter ( http://www.aswsoftware.com/products/msplotter/msplotter.shtml ) отличный бесплатный генератор фракталов на базе Windows, использующий фракталы для создания растровых изображений и видеоклипов AVI.
Fractal Explorer ( http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/) — бесплатный генератор на базе Windows
Sterling Fractal — расширенная программа для генерации фракталов Стивена Фергюсона.
Mac
Altivec Fractal Carbon ( http://www.daugerresearch.com/fractaldemos/altivecfractalcarbon.html ) Утилита для сравнительного анализа на базе Mac, использующая фракталы для определения производительности.
МорфОС
Zone Explorer ( http://www.elena-fractals.it/ ) Напишите свои собственные формулы, включая цвет, и быстро просматривайте свой фрактал в процессоре PPC.
См. также
Внешние ссылки
Дальнейшее чтение
Барнсли, Майкл Ф. и Хоули Райзинг. Фракталы повсюду . Бостон: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-1207
.
Фальконер, Кеннет. Фрактальная геометрия: математические основы и приложения .Западный Сассекс: John Wiley & Sons, Ltd. , 2003. ISBN 0470848618.
Юргенс, Хартмут, Хайнс-Отто Пейтген и Дитмар Саупе. Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1992. ISBN 038797903.
Мандельброт, Бенот Б. Фрактальная геометрия природы . Нью-Йорк: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0716711869.
Пейтген, Хайнц-Отто и Дитмар Саупе, ред. Наука фрактальных образов . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 1988.ISBN 0387966080
ca:Фрактал
da:Фрактал де: фрактал eo:Фрактало es: фрактал fa:برخال fi:Фрактаали fr: фрактал это: Фраттейл он: פרקטל ja:フラクタル пл: фрактал пл: фрактал пт: фрактал ru:Фрактал sl:Фрактал св:Фрактал th:แฟร็กทัล чж:分形
7 Бесплатное программное обеспечение для создания 3D-фракталов
Вот несколько лучших бесплатных программ для создания 3D-фракталов. Эти программы позволяют создавать 3D-фракталы и экспортировать их. Это программное обеспечение поддерживает различные типы трехмерных фракталов и позволяет генерировать их во множестве вариаций. Вы можете настроить множество параметров
Программное обеспечение для создания фракталов — это любой тип графического программного обеспечения, которое генерирует изображения фракталов. Программное обеспечение для генерации фракталов создает математическую красоту посредством визуализации. Современным компьютерам могут потребоваться секунды или минуты, чтобы создать одно фрактальное изображение с высоким разрешением. Изображения генерируются как для симуляции (моделирования), так и для случайных фракталов для искусства. Генерация фракталов, используемая для моделирования, является частью реализма в компьютерной графике. Программное обеспечение генератора фракталов можно использовать для имитации природных ландшафтов с помощью программ создания фрактальных ландшафтов и пейзажей.Фрактальные изображения можно использовать для внесения нерегулярности в стерильную компьютерную среду.
Вот несколько лучших бесплатных программ для создания 3D-фракталов , эти программы позволяют создавать 3D-фракталы и экспортировать их. Это программное обеспечение поддерживает различные типы трехмерных фракталов и позволяет генерировать их во множестве вариаций. Вы можете настроить множество параметров, чтобы создать желаемый фрактал и сохранить предварительный просмотр. Некоторые из этих программ позволяют сохранять фрактал в виде изображения в форматах PNG, JPEG.Вы также можете использовать другую формулу для создания окончательного фрактала в 3D-режиме.
Apophysis 3D
Apophysis — это редактор и визуализатор фрактального пламени с открытым исходным кодом для Microsoft Windows и Macintosh.
Apophysis имеет множество функций для создания и редактирования фрактальных пламен, в том числе редактор, который позволяет напрямую редактировать преобразования, манипулируя треугольниками, окно мутаций, которое применяет случайные изменения к треугольникам, окно настройки, которое позволяет цвета и расположения изображения.Он также предоставляет язык сценариев с прямым доступом к большинству компонентов фрактала, что позволяет создавать такие эффекты, как анимация, наблюдаемая в Electric Sheep, которые также представляют собой фрактальное пламя. Пользователи могут экспортировать фрактальное пламя в другие программы рендеринга фрактального пламени, такие как FLAM3.
Скачать Apophysis
ChaosPro
ChaosPro — это бесплатный генератор фракталов в реальном времени для MS Windows с поддержкой многих различных типов фракталов (2D и 3D), поддержкой истинного цвета, поддержкой анимации.Благодаря встроенному компилятору он работает довольно быстро, даже если вы пишете свои собственные формулы в ChaosPro.
Особенности ChaosPro
Escapetime: Пиксель в окне (двухмерная точка) повторяется и проверяется, что «происходит» с пикселем. Результат отображается и окрашивается соответствующим образом. Этот тип алгоритма создает, например, множества Жюлиа и Мандельброта, но он также может создавать любой другой фрактал, основанный на повторении 2D-пикселя.
Аттрактор: произвольная трехмерная точка повторяется снова и снова.После каждой итерации он рисуется. Это создает трехмерные фракталы, которые отображаются соответствующим образом, включая свет и тень. Примерами таких фракталов являются фракталы IFS, фракталы пламени и многие другие.
Кватернион: аналогичен Escapetime, но использует числа кватерниона и алгоритм, аналогичный Escapetime, который был улучшен для трехмерного и четырехмерного пространства. Примерами таких фракталов являются кватернионы, но этот тип также идеально подходит для визуализации лампы Мандель.
Многозадачность и многооконность: Это означает, что ChaosPro является настоящим MDI-приложением, в котором каждый фрактал находится в отдельном окне.Вы можете рассчитать несколько фракталов одновременно в разных окнах. Различные вычислительные потоки имеют низкий приоритет, поэтому вы можете рассчитать несколько фракталов и продолжить выполнять другую работу с компьютером. Все окна в ChaosPro являются немодальными диалогами, поэтому их можно открывать по своему усмотрению. Вам не нужно закрывать какое-либо окно, чтобы открыть другое.
Исследование фракталов в реальном времени: вы захватываете фрактал мышью, чтобы перемещать его, и эффект виден сразу.Вы назначаете другой градиент (палитру), и он сразу же применяется, не нужно нажимать кнопку «ОК». Если вы перемещаете ползунок (например, ползунок угла поворота), фрактальная нить постоянно замечает, что ползунок изменил свое значение, и корректирует фрактал. Насколько хорошо и как быстро он догоняет изменения, зависит от того, насколько быстр ваш компьютер. Если вы измените размер окна фрактала, то фрактал будет соответствующим образом масштабирован. ChaosPro не использует модальные диалоги, все окна параметров немодальные.
Анимации: ChaosPro ограничивает вас не только простым увеличением/уменьшением/окружением фильмов, но и позволяет создавать анимации на основе каждого фрактального параметра в ChaosPro, в любой комбинации.Вы просто определяете ключевые кадры того, как должна выглядеть ваша анимация, указываете, сколько кадров должно быть между каждой парой ключевых кадров, а ChaosPro сделает все остальное. Ключевые кадры могут отличаться любым параметром, который можно изменять непрерывно, например, углами, значением итерации, углом поворота, параметром, значением аварийного выхода, параметрами окраски, палитрой и многими другими. Параметры, которые не могут изменяться во время анимации, например, тип фрактала или флаги: Они должны быть одинаковыми во время анимации.Но система анимации достаточно умна, чтобы не позволить вам указать ключевые кадры, которые не совпадают с другими, которые вы уже определили.
Поддерживаемые операционные системы: Windows 98, NT, 2000, XP, Vista и Windows 7.
Скачать ChaosPro V4.0.249
Gnofract 4D изображения, называемые фракталами. Изображения автоматически создаются компьютером на основе математических принципов.К ним относятся множества Мандельброта и Жюлиа и многие другие. Вам не нужно заниматься математикой: вы можете исследовать вселенную изображений, просто используя мышь. Он работает в системах на базе Unix, таких как Linux и FreeBSD, а также может работать в Mac OS X.
Особенности Gnofract 4D
Неограниченное разнообразие: Большинство фрактальных программ предоставляют фиксированный набор формул. Компилятор формул Gnofract 4D позволяет вам использовать любую функцию, о которой вы только можете подумать. Он также поддерживает формулы и алгоритмы раскраски Fractint и UltraFractal, поэтому вы можете использовать многие тысячи формул, написанных для этих пакетов.Взгляните на галерею для некоторых примеров.
Бесчисленные варианты: каждый базовый фрактал можно отображать миллионами способов, используя множество алгоритмов окраски, включая старые любимые, такие как биоморф, мощные опции, такие как орбитальные ловушки, и уникальные методы, такие как горячий и холодный. Отображение нескольких фиксированных точек, критических значений или других областей с помощью опции «судьба».
Простой в использовании интерфейс: современный интерфейс (с использованием набора инструментов GTK) с неограниченным количеством отмен, полноэкранным режимом, простым взаимодействием и быстрым предварительным просмотром. Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с интерфейсом и другими снимками экрана.
Быстрые расчеты: поскольку все формулы перед запуском компилируются в машинный код, вы получаете быстрые расчеты даже для сложных пользовательских формул. Если у вас многопроцессорный, многопоточный или многоядерный компьютер, Gnofract 4D в полной мере воспользуется его преимуществами для еще более быстрых вычислений.
Четыре измерения: Что отличает его от других фрактальных программ (и делает его «4D»), так это способ, которым он рассматривает множества Мандельброта и Жюлиа как разные представления одного и того же четырехмерного фрактального объекта.Это позволяет создавать изображения, представляющие собой нечто среднее между двумя наборами, и исследовать их взаимосвязь. Если вы хотите узнать больше о математике, вы можете найти подробности в руководстве пользователя.
Высококачественный вывод: 24-битная цветопередача, методы окраски для плавных градиентов, сглаживание и отсутствие ограничений на размер вывода. Изображения ниже показывают разницу — первое создано Fractint, второе — Gnofract 4D.
Скачать Gnofract 4D V4.0.1
Fraqtive
Fraqtive — мультиплатформенный генератор фракталов семейства Мандельброта с открытым исходным кодом. Он использует очень быстрые алгоритмы для максимальной производительности и генерирует высококачественные сглаженные изображения. Это позволяет в реальном времени перемещаться по фракталу и динамически генерировать предварительный просмотр фрактала Джулии.
Особенности fraqtive
8
Быстрые алгоритмы оптимизированы для современных процессоров
Масштабирование, движущиеся и вращение в реальном времени
Генерация изображений высокого разрешения и серии изображений
Сглаживание цвета и постобработка изображения
Рендеринг фрактальной поверхности в 3D режиме
Скачать Fraqtive 0. 4.8
Mandelbulb 3D (MB3D) Программное обеспечение для фрактальной визуализации
Mandelbulb 3D — это бесплатное программное приложение, созданное для трехмерной фрактальной визуализации. MB3D преобразует десятки нелинейных уравнений в удивительный набор фрактальных объектов. Среда 3D-рендеринга включает в себя освещение, цвет, зеркальность, глубину резкости, эффекты теней и свечения; позволяя пользователю точно контролировать эффекты изображения.
Загрузить «Лампу Мандельба 3D», версию 1.9.1 (Windows)
Загрузить «Лампу Мандель3D», версию 1.9.0 (Mac)
Mandelbulber
Mandelbulber — это экспериментальное приложение, которое помогает сделать 3D-рендеринг фракталов Мандельброта более доступным. Некоторые из поддерживаемых трехмерных фракталов: Mandelbulb, Mandelbox, BulbBox, JuliaBulb, Menger Sponge, Quaternion, Trigonometric, Hypercomplex и Iterated Function Systems (IFS). Все это можно комбинировать в бесконечные вариации с возможностью гибридизации различных формул вместе.
Особенности Mandelbulber
3D-навигатор с инструментами, позволяющими увидеть, насколько близко камера находится к фрактальной поверхности.
Сложный 3D шейдинг: жесткие тени, 3 режима окружающего затенения, глубина резкости, отражения, туман, свечение, примитивные объекты и вода.
Светильники можно размещать вручную или случайным образом. Возможна объемная подсветка.
Анимация камеры: ключевой кадр и полет, управляемый мышью.
Ключевые кадры анимации всех параметров.
Объективы камеры: трехточечная проекция, «рыбий глаз» и равнопрямоугольная проекция.
Алгоритм оценки расстояния для сокращения времени рендеринга и уменьшения количества артефактов лучевого марша.
Режим малого объема памяти для рендеринга изображений размером более 16 000 x 16 000 пикселей.
Поддержка OpenCL в процессе
Загрузить Mandelbulber V2
Terragen
Terragen — это программа для создания фракталов пейзажей для Microsoft Windows и Mac OS X, разработанная и опубликованная Planetside Software. Его можно использовать для создания рендеринга и анимации ландшафтов.Terragen — это мощное решение для создания, рендеринга и анимации реалистичной природной среды. Создавайте целые миры из своего воображения или импортируйте наборы данных ландшафта реального мира и используйте Terragen для создания максимально реалистичных визуализаций. Вы управляете погодой, ландшафтом, реками, озерами и океанами, солнцем, луной и звездами. С Terragen у вас есть полный контроль над шейдерными сетями, используемыми для ландшафтов, текстур, смещений микрополигонов, облаков и распределения объектов. Вы можете реорганизовать конвейер планетарного затенения в соответствии со своими целями.Разместите траву и деревья, где хотите, а также другие объекты в собственном формате TGO или OBJ, которые вы смоделировали в стороннем программном обеспечении.
Особенность Terragen 4
Гибридный микрополигон и визуализатор с трассировкой лучей, оптимизированный для больших перемещений и очень больших ландшафтов.
Гибкая система глобального освещения для точного освещения в любом масштабе, от крупного до дальнего и планетарного масштаба.
Визуализируйте целые планеты, широкие перспективы, крошечные сады камней или что-то среднее между ними.
Фотореалистичная атмосфера и солнечный свет.
Объемные облака или быстрые облака «2.5D».
Многократное рассеяние в волюметрике, полное взаимодействие света между волюметрикой и поверхностями.
Выходной сигнал с высоким динамическим диапазоном; создавать фотореалистичные карты окружающей среды и источники IBL.
Качественное сглаживание и размытие в движении для быстрого и эффективного рендеринга.
Импорт 3D-объектов для визуализации.
Рендерируйте миллионы растений и других объектов с помощью создания экземпляров. Миллиарды виртуальных полигонов обрабатываются с легкостью.
Редактор узловых графов для максимального контроля над шейдерами и текстурами.