10.09.1978

Создание фракталов: Nadin Design — Генератор фракталов online

14.3. Исследователь фракталов

14.3.1. Общая информация

Рисунок 17.322. То же изображение до и после применения фильтра «Исследователь фракталов»

При помощи этого фильтра вы можете создавать фракталы — сложные картины с математической основой и многоцветные картинки почти хаоса. В отличии от фильтра Фрактал IFS, который создаёт объекты при помощи фрактальных структур, этот фильтр даёт вам возможность разведывать выбранные фракталы простыми средствами.

14.3.2. Активация фильтра

Этот фильтр можно найти в меню → → .

14.3.3. Параметры

Рисунок 17. 323. Параметры фильтра «Исследователь фракталов»

Окно исследователя фракталов содержит две панели: слева находится панель предварительного просмотра с настройкой масштаба, справа расположены главные настройки, разбитые на вкладки Параметры, Цвета и Фракталы.

14.3.3.1. Просмотр

Автоматическое обновление

Уберите настройку Автоматическое обновление если компьютер медленный. В этом случае, чтобы увидеть результат в окне просмотра, нажмите на кнопку Обновить просмотр.

Нажимая и двигая курсором мышки в окне просмотра, можно задать область работы фильтра. Этот эффект подобен масштабу.

Масштаб

Управляет работой с масштабом. Кнопка Отменить возвращает изображение в предыдущее состояние, до масштабирования. Кнопка Вернуть возобновляет масштаб, который был отменён прежде, не воссоздавая из с помощью кнонок Увеличить или Уменьшить.

14.3.3.2. Параметры

Рисунок 17.324. Настройки фильтра «Исследователь CML»: Параметры

Эта закладка содержит настройки по вычислению фракталов и типов фракталов.

Параметры фрактала

Ползунки и поля ввода в этой части окна определяют рассеивание, повторение и пропорции фрактала.

Левая сторона, Правая сторона, Поднять выбранный объект на передний план, Опустить выбранный объект до самого низа: Рассеивание фрактала определяется диапазоном от минимального до максимального значений, в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Оба значения должны быть в диапазоне от -3,0 до 3,0.
Число повторов: Определяет количество применений фрактала, чтобы получить конечный результат. Чем больше значение, тем более детально изображение. Значение может быть от 0,0 до 1000,0.
CX, CY: Определяют пропорции фрактала в вертикальном (X) и в горизонтальном (Y) направлениях, кроме фракталов Мандельброта и Серпинского.
Открыть, Сбросить, Сохранить: Позволяют сохранить настройки, загрузить прежде сохранённые настройки, или вернутся в начальное состояние, до всех изменений.

Тип фрактала

Определяет тип фрактала в конечном изображении, включая Мандельброт, Жюлиа, Барнсли или Серпинский.

Рисунок 17.325. Параметры фильтра «Исследователь Фракталов»: Цвета

Эта закладка содержит настройки цвета фрактала.

Число цветов

Этот ползунок и его вводные поля определяют с помощью градиента число цветов для фрактала, от 2 до 8192. Палитра этих цветов показана внизу закладки. На самом деле это градиент цветов фрактала: цвета можно изменить с помощью настроек «Интенсивность цвета» и «Цветовая функция». Цвета фрактала не зависят от цвета исходного изображения (для фрактала можно использовать и белое изображение).

Использовать loglog cглаживание

При выборе этой настройки, цветные полосы фрактала сглаживаются и плавно переходят друг в друга.

Рисунок 17.326. Пример cглаживания loglog

Плотность цвета

Красный, Зелёный, Синий: Эти три ползунка и их вводные поля определяют интенсивность цвета по трём цветовым каналам. Значения могут быть от 0,0 до 1,0.

Цветовая функция

Для трёх каналов Красный, Зелёный и Синий определяет, как цвета будут обработаны:

Синус: Плотность цвета модулируется функцией синус.
Косинус: Плотность цвета модулируется функцией косинус.
Нет: Плотность цвета изменяется линейно.
Инверсия: При выборе этого параметра более яркие цвета поменяются с менее яркими, и наоборот.

Цветовой режим

Определяет откуда берутся значения цвета.

Как указано выше: Цвета берутся из настроек Плотность цвета.
Применить действующий градиент: Цвета берутся из активного градиента. Можно выбрать другие градиенты с помощью кнопки источника градиента.

14.3.3.4. Фракталы

Рисунок 17.327. Параметры фильтра «Исследователь Фракталов»: Фракталы

Эта закладка включает большой список фракталов и их параметры. Их можно использовать как модель. Нажатие на один из них выбирает его как текущий.

Кнопка Обновить обновляет список, если вы сохранили работу до этого, не перезапуская GIMP. Выбранные фракталы удаляются кнопкой Удалить.

Созерцание великого фрактального подобия / Хабр

(

) «Галактика галактик»

Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.

Биофракталы

(

)

Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.

(с)

Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.

С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.

(с)

Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.

(с)

Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).

Компьютерные игры

Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.

Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.

Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.

Гаджеты

(

)

Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.

Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.

Архитектура

(

)

Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.

(с)

Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.

(с)

Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.

(c)

С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.

Опасные фракталы

(

)

Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.

(с)

А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.

Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.

Демосцена & софт

Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.

А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно

скачать

и запустить на компьютере.

Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.

XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.

JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.

Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.

По ссылке вы найдете множество других программ.

Заключение

Исследование фракталов

началось

в 1975 году. То есть фактически мы только приступили к изучению этой огромной и неизведанной территории. Фракталы выходят за рамки чистой математики, искусства, схожего с музыкой и поэзией, или практического инструмента решения прикладных задач. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне нашего понимания при текущем развитии науки. Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства Вселенной и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности (в диапазоне от 2 до 3).

Фракталы на Python. Пошаговое руководство / Хабр

Привет, Хабр! Сегодняшний пост про фракталы попался в рамках проработки темы

Python

, в частности, Matplotlib. Последуем примеру автора и предупредим, что в посте много тяжелой анимации, которая может даже не работать на мобильном устройстве. Зато как красиво.

Всем приятного чтения

Фракталы прекрасны. Они выстраиваются в соответствии с очень сложным паттерном и сохраняются без искажения при любом увеличении! В этой статье мы рассмотрим, как можно с легкостью начертить фракталы нескольких видов, воспользовавшись инструментом под названием L-Systems и модулем Turtle для Python, чтобы выполнить пошаговое вычерчивание.

В этой статье мы не будем чрезмерно вдаваться в технические детали; вместо этого я ограничусь кратким введением, покажу много анимированных примеров и код, при помощи которого вы сможете сами сгенерировать такой пример. Если желаете пропустить теорию и только посмотреть анимацию, сразу переходите к примерам. Кроме того, в конце я укажу несколько ресурсов, как по написанию кода, так и по базовой математике, которые вы, возможно, захотите исследовать.

Что такое фрактал?

Для начала давайте дадим «нестрогое» определение фрактала. В принципе, фрактал — это геометрическая фигура, демонстрирующая одни и те же свойства независимо от степени увеличения.

Это определение небезупречно, поэтому вот более точное с сайта Math World:

Фрактал – это объект или величина, демонстрирующие самоподобие (в формальном смысле) в любых масштабах. Объект демонстрирует при разных масштабах не идентичные структуры, но на всех уровнях фрактала должны проявляться структуры одного и того же «типа». В таком случае график, откладываемый в системе координат с логарифмическим масштабом, где по осям отсчитываются величина и масштаб, то график представляет собой прямую линию с наклоном, отражающим размерность фрактала. — Math World

Как чертить фракталы при помощи Python?

Как правило, отрисовка фракталов сложна, так как глубинная природа фракталов определяется концепцией рекурсии. Говоря о графиках и их вычерчивании, мы обычно считаем, что они образованы пикселями или векторами, но количество пикселей или векторов всегда ограничено, а фракталы по определению бесконечно рекурсивны. Таким образом, попытавшись нанести фрактал на координатную сетку, мы в какой-то момент должны будем остановиться, и именно поэтому мы в данном случае говорим об «итерациях». На каждой итерации фрактал становится все сложнее, и в какой-то момент становится невозможно отличить две его итерации, следующие друг за другом (такой момент наступает, когда изменения происходят на уровне, сравнимом с размером пикселя). Здесь логично остановиться, но, как правило, форма фрактала вырисовывается быстрее, и остановиться можно еще раньше.

Два подобных примера – квадратный остров Коха, чья структура четко вырисовывается после трех итераций, и дракон Картера-Хейтуэя, для построения полной структуры которого достаточно 8 итераций. Необходимое количество итераций сильно зависит от конкретного фрактала, с которым мы работаем.

Разумеется, существует множество библиотек на Python для построения графиков, среди которых наиболее популярна Matplotlib, но они обычно рассчитаны на нанесение статистических данных и вычерчивание хорошо известных графиков. В частности, Matplotlib содержит некоторые низкоуровневые конструкции, при помощи которых можно строить фракталы, но на этот раз мы сосредоточимся на незаслуженно малоизвестном модуле стандартной библиотеки, который называется Turtle.

Модуль Turtle

В документации Python читаем: «графика Turtle – популярный инструмент для первого знакомства детей с программированием. Он входил в состав оригинального языка программирования Logo, разработанного Уолли Фёрзегом и Сеймуром Пейпертом в 1966 году.»

Суть заключается в том, что черепаха по умолчанию распознает 3 команды:

Ползти вперед
Повернуть влево на угол
Повернуть вправо на угол

Примечание: в стандартной библиотеке предоставляются и другие команды, но здесь мы будем пользоваться только этими тремя.

Также мы можем:

Отключить запись
Включить запись

Эти характеристики кажутся слишком простыми, чтобы, опираясь только на них, вычертить такой сложный график как фрактал, но мы воспользуемся другим инструментом, который использует только этот небольшой набор инструкций. Я говорю о L-системах.

L-системы

L-система – это способ представления рекурсивных структур (например, фракталов) в виде строки символов и многократной перезаписи такой строки. Опять же, дадим формальное определение:

Система Линденмайера, также известная как L-система, это механизм перезаписи строк, который может использоваться для генерации фракталов с размерностью от 1 до 2 — Math World

Поняв, что такое L-система, мы сможем создавать рекурсивные структуры, но прежде давайте разберемся, какие компоненты нам для этого понадобятся. В каждой L-системе есть:

Алфавит: множество символов, которые будет использовать L-система.
Аксиома: исходная строка для генерации.
Набор инструкций создания строк: эти инструкции описывают, как каждый символ должен заменяться на следующей итерации.

Примечание для фанатов Computer Science: если вы глубоко изучали Computer Science, то все вышесказанное может о чем-то вам напоминать. Действительно, очень схожим образом определяются формальные грамматики; ключевое же отличие состоит в том, что, в отличие от грамматик, здесь на каждой итерации применяется столько правил, сколько возможно, а не всего одно. Поэтому L-системы являются подмножеством контекстно-свободных грамматик.

Учитывая, что мы собираемся использовать Turtle для построения графиков и L-системы для представления того, что собираемся наносить на график, нам необходимо создать взаимосвязь между ними.

Поскольку в Turtle мы располагаем только теми командами, что перечислены выше, присвоим каждой из них символ; из этих символов и будет состоять алфавит.

F: ползти вперед
+: повернуть вправо
-: повернуть влево

Чтобы это заработало, для каждого фрактала должен предоставляться угол; это и будет угол, на который черепаха будет поворачивать вправо или влево. Для простоты условимся, что предоставлен должен быть только один угол, и мы будем писать L-систему, держа это в уме.

Аксиома и инструкции создания строк будут зависеть только от фрактала, но фрактал должен быть написан таким образом, чтобы его можно было представить только этими тремя символами. Так возникает ограничение, в силу которого мы сможем строить только однострочные фракталы, то есть, нечто наподобие множества Кантора таким образом получить невозможно. Но это всего лишь упрощение, ведь мы всегда можем ввести две другие команды для движения вперед без записи, и то же самое для движения назад.

Теперь давайте перейдем к примерам!

Анимированные примеры

Следующие примеры были взяты в Интернете из нескольких общедоступных источников, и я решил портировать их на Python при помощи модуля Turtle, центрировать их, раскрасить и предоставить способ экспорта в векторный формат.

ВНИМАНИЕ: предлагаемые анимации достаточно велики, рекомендуется смотреть их лишь с хорошим интернетом. Код Repl может не работать, так как потребляет ваши ресурсы, и с отображением фракталов на мобильных устройствах возможны проблемы.

Внимание: Skulpt использует для рендеринга и создания анимации ВАШ БРАУЗЕР, так что при подвисании, лагах или любом странном поведении обычно достаточно просто заново воспроизвести анимацию или перезагрузить страницу. На мобильном устройстве может не работать.

Примеры даны в порядке усложнения (на мой субъективный взгляд), так что самое интересное – в конце.

Снежинка Коха

axiom = "F--F--F"
rules = {"F":"F+F--F+F"}
iterations = 4 # TOP: 7
angle = 60

Квадратный остров Коха

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"F-F+F+FFF-F-F+F"}
iterations = 2 # TOP: 4
angle = 90

Кристалл

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"FF+F++F+F"}
iterations = 3 # TOP: 6
angle = 90

Квадратная снежинка

axiom = "F--F"
rules = {"F":"F-F+F+F-F"}
iterations = 4 # TOP: 6
angle = 90

Фрактал Вичека

axiom = "F-F-F-F"
rules = {"F":"F-F+F+F-F"}
iterations = 4 # TOP: 6
angle = 90

Кривая Леви

axiom = "F"
rules = {"F":"+F--F+"}
iterations = 10 # TOP: 16
angle = 45

Ковер Серпинского

axiom = "YF"
rules = {"X":"YF+XF+Y", "Y":"XF-YF-X"}
iterations = 1 # TOP: 10
angle = 60

Решетка Серпинского

axiom = "FXF--FF--FF"
rules = {"F":"FF", "X":"--FXF++FXF++FXF--"}
iterations = 7 # TOP: 8
angle = 60

Квадрат

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"FF+F+F+F+FF"}
iterations = 3 # TOP: 5
angle = 90

Плитки

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"FF+F-F+F+FF"}
iterations = 3 # TOP: 4
angle = 90

Кольца

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"FF+F+F+F+F+F-F"}
iterations = 2 # TOP: 4
angle = 90

Крест-2

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"F+F-F+F+F"}
iterations = 3 # TOP: 6
angle = 90

Pentaplexity

axiom = "F++F++F++F++F"
rules = {"F":"F++F++F+++++F-F++F"}
iterations = 1 # TOP: 5
angle = 36

32-сегментная кривая

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"-F+F-F-F+F+FF-F+F+FF+F-F-FF+FF-FF+F+F-FF-F-F+FF-F-F+F+F-F+"}
iterations = 3 # TOP: 3
angle = 90

Кривая Пеано-Госпера

axiom = "FX"
rules = {"X":"X+YF++YF-FX--FXFX-YF+", "Y":"-FX+YFYF++YF+FX--FX-Y"}
iterations = 4 # TOP: 6
angle = 60

Кривая Серпинского

axiom = "F+XF+F+XF"
rules = {"X":"XF-F+F-XF+F+XF-F+F-X"}
iterations = 4 # TOP: 8
angle = 90

Анклеты Кришны

axiom = " -X--X"
rules = {"X":"XFX--XFX"}
iterations = 3 # TOP: 9
angle = 45

Квадратный фрактал Госпера

axiom = "YF"
rules = {"X": "XFX-YF-YF+FX+FX-YF-YFFX+YF+FXFXYF-FX+YF+FXFX+YF-FXYF-YF-FX+FX+YFYF-", 
        "Y": "+FXFX-YF-YF+FX+FXYF+FX-YFYF-FX-YF+FXYFYF-FX-YFFX+FX+YF-YF-FX+FX+YFY"}
iterations = 2 # TOP: 3
angle = 90

Кривая Мура

axiom = "LFL-F-LFL"
rules = {"L":"+RF-LFL-FR+", "R":"-LF+RFR+FL-"}
iterations = 0 # TOP: 8
angle = 90

Кривая Гильберта

axiom = "L"
rules = {"L":"+RF-LFL-FR+", "R":"-LF+RFR+FL-"}
iterations = 8 # TOP: 9
angle = 90

Кривая Гильберта-II

axiom = "X"
rules = {"X":"XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX", "Y":"YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY"}
iterations = 4 # TOP: 6
angle = 90

Кривая Пеано

axiom = "F"
rules = {"F":"F+F-F-F-F+F+F+F-F"}
iterations = 2 # TOP: 5
angle = 90

Крест

axiom = "F+F+F+F"
rules = {"F":"F+FF++F+F"}
iterations = 3 # TOP: 6
angle = 90

Треугольник

axiom = "F+F+F"
rules = {"F":"F-F+F"}
iterations = 2 # TOP: 9
angle = 120

Кривая дракона

axiom = "FX"
rules = {"X":"X+YF+", "Y":"-FX-Y"}
iterations = 8 # TOP: 16
angle = 90

Кривая Terdragon

axiom = "F"
rules = {"F":"F-F+F"}
iterations = 5 # TOP: 10
angle = 120

Двойная кривая дракона

axiom = "FX+FX"
rules = {"X":"X+YF+", "Y":"-FX-Y"}
iterations = 6 # TOP: 16
angle = 90

Тройная кривая дракона

axiom = "FX+FX+FX"
rules = {"X":"X+YF+", "Y":"-FX-Y"}
iterations = 7 # TOP: 15
angle = 90

Код

Все вышеприведенные примеры были получены при помощи одного и того же кода, и при работе над ними возникли некоторые сложности (например, как удержать фрактал в центре, насколько это возможно), работа с цветом, инверсией, смещениями, а также обеспечение быстрого экспорта в векторный формат. Здесь я демонстрирую вам лишь простейшую версию.
Данная версия выводит фракталы в черно-белом виде и не оснащена функционалом для экспорта

import turtle

def create_l_system(iters, axiom, rules):
    start_string = axiom
    if iters == 0:
        return axiom
    end_string = ""
    for _ in range(iters):
        end_string = "".join(rules[i] if i in rules else i for i in start_string)
        start_string = end_string

    return end_string


def draw_l_system(t, instructions, angle, distance):
    for cmd in instructions:
        if cmd == 'F':
            t.forward(distance)
        elif cmd == '+':
            t.right(angle)
        elif cmd == '-':
            t.left(angle)


def main(iterations, axiom, rules, angle, length=8, size=2, y_offset=0,
        x_offset=0, offset_angle=0, width=450, height=450):

    inst = create_l_system(iterations, axiom, rules)

    t = turtle.Turtle()
    wn = turtle.Screen()
    wn.setup(width, height)

    t.up()
    t.backward(-x_offset)
    t. left(90)
    t.backward(-y_offset)
    t.left(offset_angle)
    t.down()
    t.speed(0)
    t.pensize(size)
    draw_l_system(t, inst, angle, length)
    t.hideturtle()

    wn.exitonclick()

Пояснение кода

import turtle

Сначала нужно импортировать модуль Turtle

def create_l_system(iters, axiom, rules):
    start_string = axiom
    if iters == 0:
        return axiom
    end_string = ""
    for _ in range(iters):
        end_string = "".join(rules[i] if i in rules else i for i in start_string)
        start_string = end_string

    return end_string

Затем потребуется сгенерировать L-систему, которая будет представлять собой набор инструкций для черепахи. Определяем функцию

create_l_system

, которая получает количество итераций, аксиому и правила построения. Она начинает работу с аксиомы и использует вспомогательную переменную

end_string

, если итерация равна 0, то она вернет аксиому, поскольку некоторые фракталы можно наносить и нулевыми итерациями. В данном случае предполагается, что правила имеют вид словарей, поэтому каждый ключ уникален, представляет собой символ, а значение указывает, что и чем нужно заменить. Так мы объединяем все замены для каждого символа и в итоге получаем строку для следующей итерации.

def draw_l_system(t, instructions, angle, distance):
    for cmd in instructions:
        if cmd == 'F':
            t.forward(distance)
        elif cmd == '+':
            t.right(angle)
        elif cmd == '-':
            t.left(angle)

Затем определяем

draw_l_system

, которая принимает черепаху, набор инструкций (вывод L-системы), угол для поворота влево или вправо и длину каждой отдельной линии. Она состоит из простой структуры

elif

для каждой из ранее определенных команд.

def main(iterations, axiom, rules, angle, length=8, size=2, y_offset=0,
        x_offset=0, offset_angle=0, width=450, height=450):

    inst = create_l_system(iterations, axiom, rules)

    t = turtle. Turtle()
    wn = turtle.Screen()
    wn.setup(width, height)

    t.up()
    t.backward(-x_offset)
    t.left(90)
    t.backward(-y_offset)
    t.left(offset_angle)
    t.down()
    t.speed(0)
    t.pensize(size)
    draw_l_system(t, inst, angle, length)
    t.hideturtle()

    wn.exitonclick()

Наконец, поговорим о функции

main

, которая принимает все параметры, необходимые для генерации L-систем, а также

y_offset

x_offset

offset_angle

width

height

. Три первых описывают смещение черепахи, это необходимо просто для позиционирования графика на холсте так, как нам того хочется.

Функция сначала генерирует набор инструкций и сохраняет их в inst, затем инициализирует черепаху и экран и ставит черепаху в определенную точку, затем наносит график в соответствии с инструкциями и ожидает клика, чтобы закрыться.

Особые соображения

Как я упоминал выше, здесь оставлено множество ограничений. Во-первых, мы не предусмотрели для черепахи возможность двигаться без отрисовки; для этого потребовался бы еще один символ. Нет здесь и символа для отступления назад, и для запоминания предыдущих позиций. Они не требовались для всех фракталов, рассмотренных выше, но обязательны для некоторых других (например, фрактальных деревьев).

Дополнительные ресурсы

В Интернете множество ресурсов по фракталам, где они рассматриваются как с точки зрения программирования, так и с точки зрения математики. Следующие два показались мне особенно интересными: 3Blue1Brown (математика) и CodingTrain (код).

Статья написана под впечатлением поста с Math World и статьи Пола Бурка.

Персональный фрактал | факультет психологии

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus», в переводе обозначающее «состоящий из фрагментов».

Оно было предложено Бенуа Мандельбротом (сотрудником компании IBM) в 1975 году для обозначения нерегулярных самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В ней он впервые заговорил о фрактальной природе нашего многомерного мира. В его работе использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре,Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить все их результаты в единую систему. Существует большое число математических объектов, называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинки Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта, Лоренцовы аттракторы и др.). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные (вихревые) течения, корни, ветки и листья деревьев, кровеностные сосуды и т.д.

Методологический принцип теории фракталов (самоподобных и самоаффиных) – самоорганизация устойчивых целелостностей в природе и обществе, теория сложных систем, теория хаоса, результаты исследований турбулентных, бифуркационных систем. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Мандельброт дал следующее определение фрактала: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Понятие «подобие», являющееся основным свойством фрактала — основополагающее свойство реальной Вселенной, подобием пронизан весь мир, в котором мы живем.

Фрактал – это не только чрезвычайно красивая самоподобная картинка, но это еще и удивительное явление природы, современнейший вид компьютерного искусства, передовой край трехмерной графики. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. Фактически, найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Построение самоподобных фракталов (и некоторых других), позволяет создавать стереокартинки, различные модели миров, писать фрактальную музыку, анимировать фракталы (их движение и полет вглубь), изменять их (фрактальный морфинг). Фрактал может использоваться в психотерапии: по отзывам «фракталоманов», пять минут созерцания этого волшебства — и реальный мир становится комфортным.

В исследовании планируется следующее исследование фракталов:

Фракталы

Драконова ломаная

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

При этом каждый первый угол оказывается «вывернутым» наружу, а каждый второй — вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной — увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. Попробуйте «научить» ваш компьютер строить драконовы ломаные n — того порядка (естественно, в разумных пределах значений n). Это умственное упражнение будет способствовать оттачиванию вашего «боевого» искусства алгоритмизации и программирования. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый «дракон» десятого порядка.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z — комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится — на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к 0
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.
Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике — множеству Мандельброта.

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i — называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взял небольшой участок и увеличил его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма». Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря — получим вместо плазмы — горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.

Программирование фракталов

Псевдокод, описывающий общий принцип фрактала

Объект рисуется в достаточно большом масштабеЧасти этого объекта заменяются меньшими копиями этого объекта

Ясно, что это описание рекурсивного процесса.

Рассмотрим первый пример создания фрактала. Псевдокод выглядит так

Процедура Рисования Квадрата    У каждого угла квадрата рисуется квадрат меньшего размера    Рисуется квадрат, если не существуют квадраты меньшего размераКонец Процедуры

Так будет выглядеть код на VB

Private Sub Form_Click()Scale (-2000, 2000)-(2000, -2000)Square -1000, 1000, 2000End SubSub Square(x, y, Size)' для выхода из процедуры If Size

При выполнении каждой рекурсии появляется четыре новых угла. Каждый из них составляет одну четвертую от предыдущего. Результат представлен на рисунке

L-системы

Любителям фракталов и математических картинок известны фантастические изображения растений, полученные с помощью программ. Это так называемые L-системы. В основе их построения лежат два принципа. Первый – это так называемая «черепашья графика» (оператор draw) патриарха GWBASIC и его детей Turbo Basic и QBasic, когда движение рисуется пошагово в приращениях относительно текущей точки. Либо моделируется данное поведение, задавая движение в приращениях координат. Второй принцип – изюминка метода: каждое единичное движение заменяется на весь рисунок. Например, нарисуем вилку-рогатульку. На следующем шаге работы программы каждая из трех палочек вилки заменяется такой-же вилкой, превращая вилку в ветку с сучками, после следующего шага получим лохматый куст, потом пушистое дерево, красивое, фрактальное. Меняя вид начальной картинки можно получать самые разные изображения от зонтиков укропа до колючего перекати-поле или пучка водорослей.

Суть L-кодирования сводится к следующему. Представим себе некое виртуальное программируемое устройство, состоящее из пера, управляющего им механизма и листа бумаги. Управляющий пером механизм способен исполнять несколько команд. А именно: он может опустить перо на бумагу и вычертить прямой отрезок заданной длины в направлении текущей ориентации пера (команда F). Он может изменить ориентацию пера по отношению к текущей на какой-то заданный относительный угол по часовой или против часовой стрелки (команды + и -). Он может также запоминать (заносить в стек) свое текущее состояние (команда [) и вспоминать (извлекать из стека) ранее запомненное состояние (команда ]). Под состоянием в данном случае понимается тройка чисел (x, y, a), где x и y - это координаты пера и а - это угол, определяющий направление ориентации пера. Таким образом, задав некое начальное направление а0, определив относительный угол поворота в 900 и задав длину отрезка, при помощи последовательности команд F+F+ F+F мы можем нарисовать квадрат. Определив относительный угол поворота в 600, при помощи последовательности команд F++F++F можно нарисовать равносторонний треугольник.

Предположим также, что в программы для нашего виртуального устройства, кроме пяти перечисленных команд, можно включать любые другие символы, которые управляющий механизм будет просто игнорировать. То есть если мы введем программу F+BF+CCF+CF, то устройство все равно нарисует квадрат. Теперь мысленно оснастим наше устройство приставкой, которая перед тем, как передать введенную программу на управляющий механизм, может заданное число раз просматривать ее, и при каждом очередном просмотре заменять любые символы последовательности по предварительно указанным правилам. Исходную программную последовательность символов теперь будем называть аксиомой. Например, введем аксиому FB+, и определим правило B < F+FB. Зададим также количество просмотров, равное, например, двум. Тогда на входе механизма после обработки введенной аксиомы приставкой получим последовательность FF+FF+FB+. Вот, собственно, и все. При помощи описанного несложного виртуального устройства можно строить множество самых разнообразных фрактальных форм - от традиционных математических фракталов, таких, как, например, снежинка Коха или кривая Гильберта, до структур, очень напоминающих растительную или подводную жизнь. Можете посмотреть на исходный код программы, объясняющий вышесказанное

На рисунке приведено несколько примеров фрактальных структур, построенных при помощи этой программы

Рассмотрим, как кодируются L-системы в общепринятых обозначениях.
Движение вперед обозначается буквой F (Forward – вперед), поворот по часовой стрелке обозначим «+», а против – «-», причем само значение поворота задается в программе и постоянно для всех движений. Буквой В (Back– назад) обозначается возврат без прорисовки, нам это не пригодится.
Для нас важнее механизм возврата. Точка, в которую надо возвращаться, обозначим «[», а место, откуда происходит возврат, обозначим «]». Тогда вилка будет иметь вид: F – движение вперед [ – запомнить позицию + – поворот вправо на 22.5 (например) градусов F – движение вперед после поворота ] – возврат в запомненную позицию [ – запомнить позицию - – поворот влево относительно направления в запомненной точке F – движение вперед после поворота ] – возврат в запомненную позицию
Это движение можно закодировать. Можно и более сложное. Можно закодировать и следующий шаг – замену каждого прямого отрезка на такую же вилку. Два шага нарисуют три шага, три шага - четыре шага. Прорисовывать каждый шаг заменой текста программы довольно утомительно, и мы вспоминаем о рекурсии. Самое подходящее для нее место! Выполнив необходимые объявления переменных и передаче значений координат точек возврата, мы добиваемся, что любое дерево рисуется по заранее заданной формуле одной маленькой процедуркой, которая сама себя и вызывает. Скачайте пример на Visual Basic. Программа позволит вам с восхищением (ибо порядок прорисовки фрактально-непредсказуем) отслеживать на экране рост дерева.

Запустив программу, вы увидете как она нарисует ветку, клонимую ветром. Меняя переменную Kmax можно уменьшать или увеличивать глубину рекурсии, или, что тоже самое, «пушистость» ветки. А меняя закон движения можно получать самые удивительные и фантастические изображения.

Существуют и другие способы рисования фракталов

В интернете можно найти множество программ, рисующих фракталы. Вот программа, рисующая переливающийся лист. Можно использовать в качестве заготовки для будующего скринсейвера
Скачать исходный код

Также можете ознакомиться и с другими программами, рисующими фракталы
Генератор веток
Несколько видов фракталов
Фрактал Мандельброта
Еще один фрактал Мандельброта
Кривые Гилберта
Fractal Studio 0.17a

Использованные материалы

http://sakva. net/fractals_rus/
Гарри Корнелл «Программирование в среде Visual Basic 5»

Самые необычные дома: кто начал их строить и почему

Термин «фрактал» был введен американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году. Его книга «Фрактальная геометрия природы», вышедшая в 1977 году, стала бестселлером. С открытием фрактальной модели, математическому измерению стал доступен целый ряд феноменов, ранее считавшихся хаотичными, случайными и потому не поддающимися научному анализу. Так, фрактал явил собой новую границу между Порядком и Хаосом. С точки зрения евклидовой геометрии фрактальные структуры являются бесформенными и неправильными. Однако, как доказал Б. Мандельброт, огромное количество природных объектов и процессов, ранее казавшихся ученым непредсказуемыми, устроены по законам фрактальной геометрии: «Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, и кора дерева – не гладкая, и молния не распространяется по прямой. ..» – так начинается знаменитая книга, открывшая человечеству фрактальный закон природного формообразования.

Фрактал (от латинского «фрагментированный», «изломанный», «неправильный по форме») в самом общем виде был определен Бенуа Мандельбротом как нерегулярная структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Такое самоподобие означает, что любой участок микроуровня фрактала похож на его макроструктуру. То есть любой элемент фрактальной структуры в некоторой степени репрезентирует целое: «…если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть как целое, или в точности, или, возможно, лишь с небольшой деформацией». Таким образом, фрактальное подобие частей целому не всегда является абсолютным и точным, иногда это некоторое принципиальное сходство.

В зависимости от степени подобия части целому, выделяют линейные и нелинейные фракталы. Линейные демонстрируют самоподобие в самом прямом виде: любая часть фрактала является точной уменьшенной копией целого. В нелинейных – часть является деформированной, или варьированной, копией целого. Для таких фракталов характерно большое разнообразие форм и непредсказуемость конечного результата.

Среди математиков, художников и искусствоведов принято также деление фракталов по способу их построения на геометрические, алгебраические и стохастические:

• геометрические (такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную-генератор; далее, каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор; в результате бесконечного повторения этой процедуры получается фрактальная кривая): кривая Коха, кривая Леви, кривая дракона, кривая Минковского, кривая Пеано, множество Кантора, треугольник Серпинского, коврик Серпинского, кладбище Серпинского, губка Менгера, дерево Пифагора;

• алгебраические (алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении Z i + 1 = F(zi), где F(z) – какая-либо функция комплексной переменной): множество Мандельброта, множество Жюлиа, бассейны Ньютона, биоморфы;

• стохастические (при их построении в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры): примерами служат такие природные объекты, как облака, морские раковины, раковины улиток, деревья, разряды молнии, трещины в сухой глине, горные каньоны, листья растений, береговые линии, побеги папоротника, трещины на льду, пузыри в жидкостях, морские волны, пятна на Юпитере, снежинки, ледяные узоры на окнах, потоки лавы, реки, минералы, кораллы, айсберги, водные каскады и многое другое; также стохастические фракталы были обнаружены в человеческом организме: кровеносная и нервная системы, легкие, ткани мозжечка, нейроны в мозге, ритмы сердцебиения и так далее.

После открытия новой геометрии, Б. Мандельброт проделал работу по визуализации фрактальных формул при помощи компьютера. Особенно впечатляющими оказались изображения, полученные с использованием цветового кодирования. Так была обнаружена визуальная эффектность фрактальных структур, и в 1984 году Институт Гете устроил выставку «Границы хаоса». В этой экспозиции были представлены графические изображения математических формул фракталов, поражающие своей выразительностью и нетривиальностью форм.

В мире фракталов: Фракталы в математике

Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя..[2]. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является фрактал «Снежинка Коха». Строится она на основе равностороннего треугольника.
Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.

Каждая сторона делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны).

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Этот процесс можно продолжать бесконечно долго.

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4, 3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4….

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность даёт иакже и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации). Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Площадь первоначального треугольника была равна 1. Площадь каждого нового треугольника равна 1/9 от плошади предыдущего. Площадь первоначального треугольника была равна 1.. После добавления трёх треугольников площадь увеличивается на 3/9=1/3. Затем каждый раз будет добавляться вчетверо больше треугольников, чем на предыдущем этапе. Следовательно, площадь, добавляемая на каждом этапе, будет составлять 4/9 от площади, добвледущнной на предыдущем этапе.

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + …
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен.

Треугольник Серпинского (http://elementy.ru/posters/fractals/Sierpinski)

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д. На рисунке показаны первые три шага, а на флэш-демонстрации вы можете потренироваться и получить шаги вплоть до десятого.

Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского.

Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов — алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z — комплексное число, а f некая функция.

Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится, на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

С течением времени стремится к бесконечности.
Стремится к нулю.
Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Фракталы Пьера Фату

К алгебраическим фракталам относят фракталы Фату.
Фату изучал рекурсивные процессы вида

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.
Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения .

В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную.

Первым, кто применил компьютер лдля расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.

Множество Мандельброта

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение.

Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя. Википедия
Множество Мандельброта — классический образец фрактала.

Множество Мандельброта — это множество таких точек С на комплексной плоскости:

Z0 = 0

Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C.

Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз это выражение и каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандя коллекция ельброта в полной красе у нас перед глазами.

Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю — это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они-то и являются фрактальными. На границах этого множества ведет себя непредсказуемо — хаотично.

На странице «Программирование фракталов» нашего блога представлена программа расчёта множества Мандельброта на языке Small Basic.

Алгебраические фракталы воодушквили компьютерных художников на создание фрактальных композиций удивительной красоты. В этих комозициях можно найти сходство с природными фракиалами и проявление творческой фантазии художников.

На сайте http://www.fractalartcontests.com/2011/ собрана богатейшая коллекция очень красивых фрактальных композиций. Вот некоторые из них:

A Sunny Day for Vincent (Солнечный день Винсента)

Daisies and Blue Sky (Маргаритка и синее небо)

Autumn (Осень)

Cockatoo (Какаду)

Как создать фрактал — стенограмма видео и урока

Рисование фракталов

Если у вас есть ручка и бумага, давайте приступим к шагам по рисованию вашего собственного фрактала. Эти шаги являются общими, поэтому вы можете использовать их для рисования фракталов любого типа:

Нарисуйте большую версию формы или изображения, которое вы хотите повторить внутри себя.
Выберите правило, которое вы будете повторять снова и снова.
Применяйте это правило к своему изображению или фигуре снова и снова.
Продолжайте, пока не перестанете рисовать детали.

Это простой процесс, который может давать довольно сложные изображения. Давайте посмотрим, как вы можете использовать эти шаги, чтобы нарисовать свой собственный треугольник Серпинского.

На первом этапе вы рисуете большую версию того, что вы хотите повторить. В случае треугольника Серпинского это будет большой, полностью раскрашенный равносторонний треугольник, например:

На следующем шаге вы выбираете правило, которое вы будете повторять снова и снова, чтобы нарисовать фрактал. Для треугольника Серпинского это правило гласит, что вы нарисуете перевернутый белый треугольник внутри любого большего цветного треугольника. Итак, вы рисуете перевернутый белый треугольник внутри этого первого черного треугольника.

После того, как вы определились со своим правилом, вы просто будете повторять его снова и снова.

Продолжайте повторять свое правило, пока вы больше не сможете. Конечным результатом обычно является очень крутое изображение.

Вы только посмотрите, насколько крошечными стали ваши треугольники. Если вы можете продолжать, то, во что бы то ни стало, продолжайте идти. Если вы рисуете в компьютерной программе, вы можете увеличить масштаб, чтобы продолжить. Но вы достигнете точки, в которой вы полностью увеличили масштаб и больше не сможете его увеличивать. На этом вам нужно остановиться.

Вы успешно нарисовали фрактал!

Пример

Попробуем нарисовать еще один фрактал.На этот раз вы нарисуете так называемое фрактальное дерево. Итак, первый шаг — нарисовать большую версию изображения, которое нужно повторить. В данном случае это линия.

Далее вы выбираете правило. Для фрактального дерева правило состоит в том, чтобы разделить вашу ветку на каждом конце. Таким образом, каждая ветвь приведет к двум ветвям. Вы можете сделать это правило более конкретным, чтобы управлять формой вашего результирующего дерева. Вы можете сказать, что ваши ветви будут разветвляться на 45 градусов в каждую сторону.Тогда ваши ветви будут разнесены на 90 градусов.

Теперь вы повторяете свое правило снова и снова.

Продолжайте повторять, пока вы больше не сможете.

И вы получите довольно крутое дерево.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Фрактал — это изображение с бесконечным повторяющимся узором внутри себя.Шаги по созданию собственного фрактала следующие:

Нарисуйте большую версию фигуры.
Выберите правило, которое вы будете повторять снова и снова.
Применяйте это правило к своему изображению или фигуре снова и снова.
Продолжайте, пока не перестанете рисовать детали.

Эти шаги можно использовать для создания любого фрактала.

Программное обеспечение Fractal — Fractal Foundation

Мы считаем, что лучший способ узнать о фракталах — это изучить их самостоятельно! Пожалуйста, загрузите фрактальное программное обеспечение ниже и начните исследовать бесконечное царство фракталов.

XaoS для Windows | XaoS для Mac OS X | Инструкция для XaoS | Попробуйте последнюю предварительную версию 4. 0 (совместимую с Linux и Mac Catalina) Попробуйте версию прототипа JavaScript XaoSjs в своем браузере!
Это великолепный зумер Real-Time Zoomer, представленный в наших презентациях. Изучите множество Мандельброта и 23 других фрактала. Открытый исходный код, бесплатно, быстро, потрясающе. Дети повсюду используют его, и даже взрослым он достаточно прост. Бесплатно!

FRAX (99 центов)
Это приложение для iPhone и iPad, и это лучший исследователь фракталов с сенсорным экраном, КОГДА-либо созданный. Это просто замечательно! Вы можете ущипнуть, чтобы увеличить или вращать и управлять, наклоняя. Невероятно весело и так красиво.

FRAX Lite — вкус FRAX
Вкус FRAX бесплатно!

Fractal to Desktop
Рендеринг фракталов в реальном времени на вашем рабочем столе! Машины с Windows только в это время.

JWildfire
Wildfire — это бесплатное и удобное программное обеспечение для обработки изображений, в основном известное своим сложным генератором фракталов пламени. Он основан на Java, имеет открытый исходный код и работает на любой основной компьютерной платформе. Также существует специальная Android-версия для мобильных устройств. Перейдите на страницу загрузок, чтобы получить эту бесплатную программу для компьютеров Windows, Linux или Mac.

Фрактальное моделирование
Создайте различные версии кривой Коха и поиграйте с набором Мандельброта и прокладкой Серпинского.

Фрактальные пейзажи
Создайте свои собственные фрактальные пейзажи

Фрактальная карта
Если у вас Windows 10 или Windows 10 Mobile, скачайте эту бесплатную программу, чтобы создавать свои собственные фракталы!

Мандельбульбер | Mandelbulb3D
Если вы готовы исследовать трехмерные фракталы, такие как Mandelbulb и Mandelbox, вот две отличные бесплатные программы, которые откроют бесконечные миры. Первый может быть немного мощнее и, возможно, немного быстрее, но второй немного проще в использовании. Я люблю их обоих! И они оба Бесплатно!

Apophysis
Бесплатный редактор фрактального пламени для Windows — создает супер крутые фрактальные изображения!

MyNameIsLawrence
Multibrot фрактальный исследователь

Fractal Fr0st
Много способов поиграть с фракталами

Ultra Fractal
Когда вы будете готовы к большей мощности, Ultra Fractal — это потрясающий профессиональный пакет, который поддерживает анимацию, произвольно глубокие фракталы и чрезвычайно высокое разрешение.

XenoDream
Это сложная и мощная программа для трехмерного моделирования, которая действительно хорошо делает фракталы. Профессиональная программа, она поддерживает как анимацию, так и рендеринг с высоким разрешением.

Electric Sheep
Это невероятно развивающийся совместный проект фрактальной заставки. Загрузите заставку (для Mac, ПК или Linux) и позвольте вашему компьютеру создавать одни из самых красивых фрактальных анимаций в любом месте. Взаимодействуйте с ним, голосуя за свою любимую овцу, и помогите внести свой вклад в эволюцию фракталов! Бесплатно!

Videator
Это невероятное программное обеспечение для обработки видео в реальном времени позволяет пользователю создавать всевозможные забавные и красивые видеоэффекты в реальном времени, и, что лучше всего, оно интегрировано с XaoS, фрактальным зумером, так что вы можете смешать себя и своих друзей с окружающим миром. бесконечные фрактальные пейзажи…

Fractal Grower
Интерактивный Java-апплет от профессора UNM Джоэла Кастелланоса, который позволяет виртуально выращивать «растения» и другие подобные фрактальные формы, повторяя простую геометрическую операцию.Много веселья. Бесплатно!

Google Earth
Великолепная бесплатная программа, позволяющая исследовать любую точку Земли. Увеличьте масштаб, чтобы увидеть природные фракталы, такие как горы, реки и береговые линии. (Скоро: пользовательские слои KMZ, показывающие особую коллекцию природных фракталов на Земле.) Бесплатно!

Удивительные программы в Сиэтле
Еще больше фрактальных программ!

Как работают фракталы | HowStuffWorks

Когда большинство людей думают о фракталах, они часто думают о самом известном из них — о множестве Мандельброта.Названный в честь математика Бенуа Мандельброта, он стал практически синонимом концепции фракталов. Но это далеко не единственный фрактал в городе.

Ранее мы упоминали папоротник, который представляет собой один из простых и ограниченных фракталов в природе. Ограниченные фракталы не могут существовать бесконечно; они отображают только несколько итераций конгруэнтных форм. Простые и ограниченные фракталы также не являются точными в их самоподобии — листочки папоротника могут не идеально имитировать форму более крупного листа. Спираль морской ракушки и кристаллы снежинки — два других классических примера этого типа фракталов, встречающихся в мире природы. Хотя они не являются математически точными, они все же имеют фрактальную природу.

Ранние африканские художники и художники навахо заметили красоту этих рекурсивных узоров и стремились подражать им во многих аспектах своей повседневной жизни, включая искусство и городское планирование [источники: Eglash, Bales]. Как и в природе, количество рекурсивных итераций каждого шаблона ограничивалось масштабом материала, с которым они работали.

Леонардо да Винчи также видел этот узор в ветвях деревьев, когда ветви деревьев росли и разделялись на несколько ветвей [источник: Да Винчи]. В 1820 году японский художник Кацусика Хокусай создал «Великую волну у побережья Канагавы» — красочное изображение большой океанской волны, вершина которой разделяется на все меньшие и меньшие (самоподобные) волны [источник: NOVA].

В конце концов к делу подключились и математики. Гастон Джулия придумал идею использования петли обратной связи для создания повторяющегося паттерна в начале 20 века.Георг Кантор экспериментировал со свойствами рекурсивных и самоподобных множеств в 1880-х годах, а в 1904 году Хельге фон Кох опубликовал концепцию бесконечной кривой, используя примерно ту же технику, но с непрерывной линией. И, конечно же, мы уже упоминали, что Льюис Ричардсон изучает идею Коха, пытаясь измерить английские береговые линии.

Однако эти исследования такой сложной математики были в основном теоретическими. В то время не хватало машины, способной выполнять кучу математических вычислений за разумный промежуток времени, чтобы выяснить, к чему на самом деле привели эти идеи.По мере развития компьютеров увеличивалась и способность математиков проверять эти теории.

В следующем разделе мы рассмотрим математику, лежащую в основе фрактальной геометрии.

Explainer: что такое масштабирование и фракталы и как дизайнеры могут их использовать

Модели роста в природе также распространены и важны в хорошем дизайне.

Принося свои извинения агентам по недвижимости, мы хотели бы сказать, что тремя наиболее важными факторами в дизайне являются масштаб, масштаб и масштаб.Одна из причин заключается в том, что многие из самых грубых ошибок в дизайне окружающей среды 20-го века были ошибками масштаба — особенно нашей неспособностью примириться со связанной природой масштабов, от малого до большого. Кумулятивным следствием этих сбоев является то, что масштабы созданной среды стали сильно фрагментированными, и (по причинам, которые мы подробно описываем здесь) это не очень хорошо. Можем ли мы исправить этот недостаток? Большинство дизайнеров кое-что знают о «фракталах», тех прекрасных узорах, которые математики, такие как Бенуа Мандельброт, описали в точных структурных деталях.По сути, фракталы — это модели элементов, которые «самоподобны» в разных масштабах. Они повторяют один и тот же геометрический узор во многих разных размерах. Мы видим фрактальные узоры почти повсюду в природе: в изящном повторении в разных масштабах ветвей папоротников, в образцах ветвления жилок, или в более случайных (но повторяющихся в разных масштабах) узорах облаков или береговых линий.

Мы также можем воспроизвести фрактальные узоры на компьютере, часто с удивительно красивыми результатами.Некоторые графические дизайнеры используют фрактальные методы для воспроизведения очень реалистичных пейзажей и других природных явлений. Похоже, они тоже что-то запускают в нашем восприятии. Мы каким-то образом признаем их «естественными» и эмоционально связываемся с ними. Кажется, что мы настроены «читать» фракталы в нашей среде, вероятно, по двум ключевым причинам. Один из них заключается в том, что биологические структуры в значительной степени фрактальны по своей структуре, и мы врожденно заинтересованы в других биологических структурах, потому что они могут быть пищей, хищниками, другими людьми или просто ключевым компонентом биологически поддерживающей среды.Другая причина глубже связана с геометрией. Когда мы смотрим на длинную перспективу, повторяющиеся структуры (например, деревья) повторяются в меньших видимых масштабах, когда они находятся дальше. Эта фрактальная информация помогает нам определять расстояния и глубину в окружающей среде. Это дает нам легкое понимание геометрического порядка нашей окружающей среды. Мы осознаем это только как чувство удовольствия, а не, по совпадению, как важную потребность выживания с эволюционной точки зрения. Фрактальные структуры также дают нам другую полезную информацию, например, сложные отношения между элементами окружающей среды.Порядок существенной, но неуловимой структуры, такой как экосистема, более понятен для нас, потому что мы можем обнаружить симметричные фрактальные паттерны ее растений и животных — еще одна важная эволюционная потребность. В наше время у нас есть большая потребность в том, чтобы городская среда была для нас читаемой, и есть свидетельства того, что мы делаем это, читая фрактальные отношения в зданиях и деталях (в конце концов, мы эволюционировали с этим чувством). С эволюционной точки зрения очевидно, что мы воспринимаем эти отношения, потому что они в высшей степени полезны для нас.Они помогают нам понять структуру выбора, которую предлагает наша среда, и то, как разные альтернативы могут предложить нам разные преимущества. Это врожденный навык. Важно отметить, что фрактальные городские структуры обычно предоставляют несколько комбинаций преимуществ, которые работают в синергии. И наше приятное восприятие фракталов, вероятно, тоже связано с этим. Например, разветвленные, слоистые, фрактальные пути, которые мы можем пройти в городе, помогают нам одновременно выполнять множество различных задач. Люди, движущиеся по таким путям с целью обмена информацией на более высоком уровне (идущие на деловую встречу), могут, таким образом, осуществлять обмен информацией более низкого уровня (имея неформальный «вторичный» обмен с другими людьми или восприятие приятных сцен).Таким образом, время, необходимое для обмена на более высоком уровне, используется более эффективно, а чистый эффект представляет собой синергию действий, которые часто приводят к экономическим, социальным и другим выгодам.

Рисунок 2. Фрактальная модель самоорганизующегося урбанизма. Слева — простой фрактальный узор, называемый «прокладкой Кантора». Справа — гораздо более сложный и неправильный узор с узнаваемо похожими фрактальными свойствами, традиционный городской район Багдада, Ирак. Обратите внимание на схожие паттерны в разных масштабах граничащих пространств и чередующиеся паттерны внутреннего и внешнего пространства.

Рисунок Никоса А. Салингароса (слева), Изображение: Коллекция фотографий Г. Эрика и Эдит Мэтсон, Библиотека Конгресса (справа)

Эта «фрактальная нагрузка» означает, что каждый высокоуровневый обмен несет с собой одновременные обмены на многих более мелких уровнях. Множество обменов разного масштаба поддерживается физической инфраструктурой, которая допускает смешанный обмен информацией, но не позволяет другим конкурирующим обменам вытеснять обмены более слабого или более низкого уровня. Фрактальная загрузка важна на всех уровнях.Но особенно важно это в человеческом масштабе. Например, в масштабе региона не так много структурных выборов, которые актуальны для человека, занимающегося его повседневной деятельностью. Но по мере того, как мы приближаемся к масштабу человеческого существа (фактически, к группе масштабов от 1 мм до 10 м), все больше и больше структурных вариантов начинает вытесняться в картину, так что к тому времени, когда мы достигаем этого масштаба, окружающая среда часто представляет собой богатый набор структурных выборов, которые человек может делать ежедневно, ежечасно и даже мгновенно.В этом масштабе фрактальная нагрузка в нашей среде значительно расширяет структурные возможности и создает синергию между ними. Если я нахожусь в хорошо связанном, нагруженном фракталом месте в человеческом масштабе, я могу читать газету, могу поговорить с другом, я могу поздороваться с прохожим или могу выполнить одно или несколько поручений. И я могу легко объединить эти действия в сеть вариантов. Это, скорее всего, ключевая причина того, что в городских системах так важны хорошо структурированные пешеходные сети. Как показала наша работа, есть основания полагать, что существуют важные синергические эффекты в области экономики, сохранения ресурсов, психологического здоровья и других преимуществ, которые предоставляются только пешеходными сетями, обладающими этим ключевым свойством фрактальной нагрузки.

Рис. 3. Пешеходные сети средневекового Рима имеют фрактальную структуру, проникая в здания и даже в богатые декоративные детали самих зданий. Эти «сети мест» предлагают пешеходам плотный и перекрывающийся набор вариантов передвижения, видов и других полезных впечатлений.

Рисунки / Фото Майкла Мехаффи

Фрактальная загрузка — это один из примеров «феномена масштабирования» в сложных сетевых структурах, таких как города, и активная область городских исследований.Другое связанное с этим явление заключается в том, что по мере увеличения масштаба структуры, такой как сеть, явления, которые происходят в меньшем масштабе, часто не увеличиваются с линейной (пропорциональной) скоростью. Часто они бывают «суперлинейными» (они увеличиваются более чем пропорционально) или «сублинейными» (они увеличиваются менее чем пропорционально). Эти явления, такие как экономический рост и использование ресурсов на человека, очень важны для нас. Если мы добьемся большего экономического роста на человека в большем масштабе или меньшего использования ресурсов на человека, то качество нашей жизни может улучшиться.Это может быть одной из важных причин, почему людей привлекают большие города. Плотные поселения действительно предлагают более высокое качество жизни при пропорционально меньших затратах, чем разрастание. А понимая масштабирование, мы можем лучше справляться с такими проблемами, как истощение ресурсов и изменение климата. Но обратите внимание, что это явление возникает в результате специфической сетевой структуры города, его «метаболических» взаимодействий и синергии (например, фрактальной нагрузки). Совокупность совершенно разных людей, «занимающихся своими делами», скорее всего, не выиграет от такого явления масштабирования.Эти явления и те синергетические преимущества, которые они приносят, возникают в многомасштабных взаимодействиях. Интересно, что эта характеристика фрактальной нагрузки имеет тенденцию спонтанно проявляться в городских системах, которым позволено самоорганизовываться в рамках естественных процессов человеческой культуры, то есть в традиционной городской среде. Мы все интуитивно осознаем это в богатой фракталом среде популярных туристических направлений, таких как Брюгге или Эдинбург. (И мы признаем его отсутствие в инженерных средах, которые явно не являются туристическими направлениями, такими как лондонский Доклендс или парижский Ла Дефанс.)

Рис. 4. Слева — сильно фрактальная структура урбанизма в Брюгге, Бельгия. Справа — гораздо более разреженная, свободная от фракталов среда в современном пригороде Брюгге, которая также гораздо менее проходима и имеет другие негативные последствия.

Фото Майкла Мехаффи

О чем это нам говорит? Являются ли фрактальные городские структуры просто ностальгическими пережитками устаревшей досовременной эпохи? Или они предлагают важные уроки дизайнерам сегодня? Хотя, безусловно, существуют идеологически догматические теории стиля и истории, поддерживающие ностальгический пережиток, они не подтверждаются реальными научными доказательствами.И, что очень важно, есть важные доказательства, которые извлекают решающие уроки из сегодняшнего предложения дизайнеров. Чтобы увидеть, какими могут быть эти уроки, мы обсудим, как фрактальные структуры образуются в природе — и, похоже, в природе человека — и почему они могут быть такими важными атрибутами хорошо функционирующей среды. У фракталов есть две взаимосвязанные характеристики: они проявляют сложность при каждом увеличении. Их края и поверхности раздела не гладкие, а либо гофрированные, либо перфорированные.

Фрактальные узоры имеют тенденцию к естественному образованию по одной простой причине: существует «генеративный процесс», который создает геометрический узор, и это происходит в более чем одном масштабе.Например, в распускающемся цветке генетический код, создающий образец, делает это во временной последовательности, в то время как ранее сгенерированные образцы растут. В сгенерированном компьютером фрактале процесс генерации называется «алгоритмом» — фрагментом кода, который генерирует образец в результате сложного взаимодействия с тем, что было сгенерировано ранее. В городе процессы генерации выполняются людьми, которые делают то же самое, что и люди, создавая города. Они определяют пространство с границами, которые в разной степени разделяют.Они создают пространства, которые имеют степень публичности, где-то в диапазоне от общественного до частного, от самых публичных улиц и площадей до самых приватных спален и ванных комнат.

Границы жилых пространств — это тоже не простые конструкции, а сложные мембранные конструкции, предлагающие свой собственный набор структурных вариантов, либо для максимизации конфиденциальности (закрывая занавеску), либо для публичности (открывая дверь). Эти границы сами по себе являются удивительно сложными структурами и самоорганизуются в более крупные паттерны (двери или окна, которые со временем становятся общими типами, и районы, которые развивают характерные паттерны сопряжения подъездов или колоннад).Как связаны разные шкалы? Точно так же, как биологические структуры и компьютерные алгоритмы спонтанно повторяют свои геометрические узоры в разных масштабах, мы делаем то же самое, если только законы или идеология не заставляют нас поступать иначе. Отдельные лица могут делать небольшие повторения узора (прямоугольная форма комнаты), в то время как группы могут создавать более крупные версии одного и того же узора (двор), а большие группы могут создавать еще больший узор (городская площадь).

Рисунок 5.Некоторые существенные свойства фракталов. (а) Фрактальная загрузка использует базовую шкалу в качестве носителя для других постепенно уменьшающихся механизмов и структур. Отнюдь не монофункциональная и упрощенная, каждая структура становится чрезвычайно сложной и несет информацию в нескольких различных масштабах. (б) Продольное сжатие образует «сложенный» фрактал, создавая складчатую линию, которая затем создает складки на его складках. Этот интерфейс может катализировать городские взаимодействия, имитируя негладкую поверхность химического катализатора.(c) Продольное растяжение и разрыв по всей линии образуют «перфорированный» фрактал, показанный здесь на его первой стадии. Это естественный механизм для определения городской колоннады и любой полупроницаемой городской границы, такой как ряд столбов, защищающих пешеходов от движения транспортных средств.

Рисунки Никоса А. Салингароса

Но, как и в случае с биологическими и компьютерными структурами, история не заканчивается на каком-то конкретном масштабе. Граница комнаты перфорирована более мелкими конструкциями, такими как прямоугольные двери и окна.Граница больших пространств может быть перфорирована колоннадами (речь идет о жилых помещениях, а не о мертвых пространствах, характерных для послевоенной архитектуры и урбанизма). Эти повторяющиеся перфорации в меньших масштабах — фрактальная нагрузка, возникающая в результате характерного «генерирующего алгоритма» фрактальной структуры — часто продолжается вплоть до масштабов деталей и орнамента. Почему это? Кажется вероятным, что мы, пользователи, пробираясь через эти места, находим такую сложную среду (сложную в очень точно упорядоченном смысле) более простой для понимания, более понятной, более полезной и более красивой.Мы очень хорошо разбираемся в многочисленных масштабах этих «сетей мест».

Но есть серьезная проблема. Если мы не пользователи, а дизайнеры, получившие образование в нашей индустриальной / художественной культуре, у нас может быть другая повестка дня: навести другой порядок в искусственной среде. И эта повестка дня может исходить из совсем другого набора критериев, чем экологический опыт людей. Это действительно так. Проще говоря, наши нынешние методы создания городов чрезмерно полагаются на экономию повторения и масштаба, которые действительно предлагают узкие преимущества, но также чрезвычайно ограничены и с человеческой точки зрения очень грубые и разрушительные.Природные системы никогда не используют эти стратегии изолированно, но всегда сочетаются с экономией дифференциации и адаптации. Удивительно, но мы не совсем поняли, как использовать их в наших текущих стратегиях (хотя многие люди работают над этой проблемой, и наша собственная работа решает эту задачу).

Выбрав работу с серьезными технологическими ограничениями, модернистские дизайнеры утверждали, что более сложный подход заключался в разделении зданий до «минималистских» композиций, которые намного проще и дешевле производить в условиях грубых промышленных процессов начала 20 века.Именно композиции этих элементарных «платоновых» тел были самыми красивыми, постулированными архитекторами, такими как Ле Корбюзье, потому что они были «чистым» выражением формы. Старые готические соборы с их фрактальным орнаментом были «не очень красивы», — сказал он с позорной репутацией. И не было и оживленных улиц, которые он презирал!

Действительно, Корб и другие дизайнеры представили веские идеологические аргументы (до сих пор убедительные), что старые орнаментированные образцы были буржуазными, презренными и даже (по знаменитым словам Адольфа Лооса) «преступлением».В этом идеологически мотивированном дизайнерском движении мы пришли к неверному представлению о том, что фракталы в некотором роде примитивны, тогда как гладкие, недифференцированные «платонические» формы являются «современными» и сложными. По иронии судьбы, все обстоит наоборот: самые продвинутые теории современной науки основаны на сложности, дифференциации, сетях и фракталах — резкий контраст с прямой гладкой промышленной геометрией раннего модернизма.

Признавая это, многие архитекторы и городские дизайнеры говорят в терминах фракталов, законов масштабирования и «морфогенетического дизайна».Но остается вопрос: действительно ли эти люди используют такие принципы для создания адаптивной структуры человека? Или они используют их только для создания привлекательных эстетических схем, привязанных к тому, что по сути является той же самой неудачной промышленной моделью дизайна? Эти вопросы лежат в основе дебатов о будущем искусственной среды. Какие же уроки следует извлечь? Фрактальная структура — это не просто эстетический трюк. Это важная характеристика устойчивой среды обитания человека.И эта структура возникает не из благонамеренных нисходящих схем старых арт-дизайнеров, а из тех, кто умело применяет процессы самоорганизации, как часть нового образа мышления о том, что это такое. дизайн. И все же мы, дизайнеры, очень упрямо усвоили этот урок. В соответствии с ошибочной теорией структуры окружающей среды, которая путает простоту с порядком, мы отбрасываем критически важные взаимосвязанные масштабы и фрактальные отношения в нашей среде.Мы заменили мир богато связанного урбанизма беспорядочной географией искусно упакованных, катастрофически падающих арт-продуктов.

Майкл Мехаффи — урбанист и критически мыслящий в вопросах сложности и искусственной среды. Он практикующий планировщик и строитель, известен своими многочисленными проектами, а также своими сочинениями. Он был близким сотрудником архитектора и пионера программного обеспечения Кристофера Александра. В настоящее время он является научным сотрудником сэра Дэвида Андерсона в Университете Стратклайда в Глазго, приглашенным преподавателем в Университете штата Аризона; научный сотрудник Центра структуры окружающей среды, исследовательского центра Криса Александра, основанного в 1967 году; и стратегический консультант по международным проектам, в настоящее время в Европе, Северной Америке и Южной Америке.

Никос А. Салингарос — математик и эрудит, известный своими работами по теории городов, теории архитектуры, теории сложности и философии дизайна. Он был близким сотрудником архитектора и пионера компьютерного программного обеспечения Кристофера Александра. Салингарос опубликовал обстоятельные исследования по алгебрам, математической физике, электромагнитным полям и термоядерному синтезу, прежде чем обратить свое внимание на архитектуру и урбанизм. Он по-прежнему профессор математики Техасского университета в Сан-Антонио, а также работает на архитектурных факультетах университетов Италии, Мексики и Нидерландов.

Математика: О фракталах | Мэривудский университет

Контактное лицо по программе:

Д. П. Адхикари, Ph.D.
[email protected]
Здание Центра естественных и медицинских наук (CNHS), комната 339

(570) 348-6211 доб. 2375

Помощник администратора:

Марси Гоган
mgaughan @ marywood.edu
Здание Центра естественных и медицинских наук (CNHS), каб. 350
(570) 348-6265

Что такое фракталы?

Фрактал — это «грубая или фрагментированная геометрическая форма, которую можно разделить на части, каждая из которых является (по крайней мере приблизительно) копией уменьшенного размера целого», свойство, называемое самоподобием .

Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и произошел от латинского фрактуса, означающего «сломанный» или «расколотый». Математический фрактал основан на уравнении, которое подвергается итерации, форме обратной связи, основанной на рекурсии.

Фрактал часто имеет следующие особенности:

Имеет тонкую структуру при сколь угодно малых масштабах.
Это слишком необычно, чтобы его можно было легко описать традиционным евклидовым геометрическим языком.
Самоподобен (хотя бы приблизительно или стохастически).
Он имеет размерность Хаусдорфа, превышающую его топологическую размерность (хотя этому требованию не отвечают кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Гильберта).
Он имеет простое и рекурсивное определение.

Поскольку они кажутся похожими на всех уровнях увеличения , фракталы часто считаются бесконечно сложными.К естественным объектам, которые до некоторой степени аппроксимированы фракталом, относятся:

облака
горные хребты
молнии
береговые линии
хлопья снега
различных овощей (цветная капуста и брокколи)
раскраски животных

Создание фракталов

Изображения фракталов можно создавать с помощью программного обеспечения для создания фракталов. Изображения, созданные с помощью такого программного обеспечения, обычно называют фракталами, даже если они не обладают вышеуказанными характеристиками, например, когда можно увеличить область фрактала, которая не проявляет каких-либо фрактальных свойств.Кроме того, они могут включать в себя артефакты вычислений или отображения, которые не являются характеристиками истинных фракталов.

Общие методы создания фракталов
Время побега
Системы итерированных функций
Случайно
Аттракторы Штанге
Что такое фрактал? — Полное руководство по пониманию фракталов
Фракталы в природе
Как только основная концепция фракталов понята, становится шокирующим видеть, сколько уникальных типов фракталов существует в природе.Некоторые из наиболее распространенных примеров фракталов в природе включают ветви деревьев, системы кровообращения животных, снежинки, молнии и электричество, растения и листья, географическую местность и речные системы, облака, кристаллы.
Фрактальные деревья:
Фракталы видны в ветвях деревьев по тому пути, по которому дерево отрастает конечности. Главный ствол дерева является исходной точкой для Фрактала, и каждый набор ветвей, которые растут из этого основного ствола, впоследствии имеют свои собственные ветви, которые продолжают расти и имеют свои собственные ветви.Со временем ветви становятся достаточно маленькими, они превращаются в прутья, и эти прутья в конечном итоге вырастают в более крупные ветви и имеют собственные прутья. Этот цикл создает «бесконечный» узор ветвей деревьев. Каждая ветвь дерева напоминает уменьшенную версию всей формы.
Фракталы в телах животных
Еще одно невероятное место, где можно увидеть фракталы, — это кровеносная и дыхательная система животных. Если вы возьмете дыхательную систему человека, вы увидите фрактал, который начинается с одного ствола (похожего на дерево), который разветвляется и расширяется в гораздо более мелкозернистую сеть полостей.
Фрактальные снежинки
Мы все слышали, что каждая снежинка уникальна, и что одним из факторов, способствующих уникальности снежинок, является то, что они образуют фрактальные узоры, которые могут обеспечивать невероятное количество деталей, а также вариации. В случае образования кристаллов льда начальная точка фрактала находится в центре, а форма расширяется во всех направлениях. По мере расширения кристалла фрактальные структуры формируются в каждом направлении. Как и в других примерах фракталов, которыми мы поделились выше, каждая итерация формы становится меньше и детальнее, что также способствует общей сложности формы.
Фрактальная молния и электричество
Если вы когда-либо наблюдали грозу, вы получаете представление в первом ряду одного из самых мощных проявлений фракталов в природе. Когда электричество проходит через среду, которая плохо проводит электричество (например, воздух), образующийся узор становится фрактальным. Причина возникновения этого явления в том, как электричество взаимодействует с воздухом. Когда ток проходит через воздух, он перегревается. Перегрев воздуха изменяет его электропроводность и позволяет току выходить наружу.Этот процесс повторяется для каждого уровня фрагментации, и вскоре вы получите фрактал. Вы заметите, что если перевернуть изображение удара молнии или электрического разряда, вы увидите большое сходство с деревом. Это потому, что оба являются фракталом.
Фракталы в растениях и листьях
В следующий раз, когда вы едите салат, ананас, брокколи или несколько других продуктов, вы на самом деле едите фрактал! У растений и листьев, как и у животных, есть внутренние структуры, которые распределяют питательные вещества через сеть фракталов.Эти структуры позволяют легко распределять жидкости и другие материалы, поддерживающие жизнь, по растению и поддерживать жизнь каждой клетки.
Помимо клеточного уровня, некоторые растения сами по себе выглядят фрактально. Одним из наиболее ярких примеров является брокколи, называемая брокколи Романеско. У этого типа брокколи невероятная структура шпилей, которые исходят из одного источника (подобно фрактальной снежинке), у которых, в свою очередь, есть свои шпили, которые продолжаются до кончика растения.
Папоротник — еще один прекрасный пример фрактала. Папоротники, по сути, состоят из одной и той же общей структуры, повторяющейся снова и снова.
Фракталы в географии, реках и ландшафте
Подобно молниям, деревьям и растениям, география, реки и ландшафт также часто попадают в категорию фракталов. Если вы задумаетесь о том, как формируется и выветривается местность, значительную часть ландшафта можно отнести к водной эрозии. Подобно сетям, которые распределяют жидкости по организму, реки и другие водоемы собирают, перемещают и распределяют воду по ландшафту.Прекрасным примером этого может быть путешествие, которое совершает вода, перемещаясь из ручья в реку, в озеро или в другой большой водоем.
По мере образования рек и других водоемов они также вырезают географический ландшафт, который делает сушу водоемами также перемещающимися по фракталам. Отличный пример того, как фрактальная геометрия влияет на географию, — это измерение береговой линии. Если вы измеряете береговую линию линейкой длиной в милю, вы сможете получить очень приблизительную оценку длины береговой линии, но не сможете уловить какие-либо более мелкие детали, такие как неровности, гребни и выходы на поверхность. .Однако, если вы уменьшите линейку до ярда, вы внезапно сможете уловить гораздо больше мелких деталей, потому что ваш инструмент для измерения будет намного точнее. Каждый раз, когда вы увеличиваете степень детализации ваших измерений, вы можете увеличивать точность ваших измерений, что в случае береговой линии увеличит периметр, потому что вы сможете уловить больше этих мелких деталей. Поскольку береговые линии имеют фрактальную геометрию, детализация очень мала и приводит к очень большому периметру.
Другой способ подумать о моделировании геометрии береговой линии — подумать о задаче создания контура, если вы вынуждены использовать набор кубов. Чтобы детали были точными, кубики должны быть очень маленькими, иначе детали будут потеряны. Вы также можете приравнять эту проблему к разрешению изображения. Если у вас изображение с низким разрешением, пиксели очень большие, что делает изображение размытым и трудноразличимым. По мере увеличения разрешения изображения пиксели становятся меньше, а изображение становится более детальным.
Фракталы в облаках
Облака также отображают характеристики фракталов. Турбулентность в атмосфере оказывает интересное влияние на то, как частицы воды взаимодействуют друг с другом. Турбулентность является фрактальной по своей природе и поэтому оказывает прямое влияние на формирование и визуальный вид облаков. Количество конденсата, кристаллов льда и осадков, выбрасываемых из облаков, влияет на состояние облака и структуру системы и, следовательно, на турбулентность.
Фракталы в кристаллах
Подобно ледяным образованиям, другие природные формы кристаллов, подобные тем, которые созданы из минералов, также могут проявлять фрактальные свойства. В зависимости от формы кристаллов и используемых минералов, некоторые из них имеют более фрактальный вид, чем другие. Прекрасным примером этого может служить кубическая природа некоторых образований аметиста или пирита.
Для получения дополнительной информации о фракталах в природе, мы рекомендуем вам изучить культовую книгу Бенио Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой впервые возникли эти идеи.
Использование Inkscape для создания фракталов
Использование Inkscape для создания фракталов
Использование Inkscape для создания фракталов
Это краткое руководство, показывающее, как Inkscape 0.47 можно использовать для создания простых фрактальных изображений с помощью Расширение системы Lindenmeyer (L-системы), включенное в Inkscape. Фрактал — это объект, который сделан из уменьшенных копий самого себя. Фрактальные формы часто встречаются в природе. Например, небольшой кусочек папоротника лист часто очень похож на весь лист.
В этом уроке мы будем использовать Inkscape, чтобы построить несколько простых фракталов. Все фракталы, которые мы сделаем, детерминированный (неслучайный) и все будет состоять из одной кривой. То есть фрактал можно нарисовать на листе бумаги, не отрывая ручку от бумаги. Фракталы L-системы также могут быть использованы для создания более продвинутые фракталы, но в этом уроке мы будем рассматривать только простые фракталы.
Приступим. Откройте Inkscape и выберите Extensions , затем Render , затем L-system…
Откроется меню L-sysem с несколькими опциями.
Axiom
Математическое описание фрактала, который будет нарисован. Аксиома определяется правилами.
Правила
Математические правила, определяющие фрактал.
Заказать
Фракталы определяются в терминах самих себя.В заказе указано, сколько копий фрактала сделать.
Длина шага (пикс.)
Фракталы рисуются с использованием коротких отрезков линий. Длина шага определяет длину каждого сегмента линии.
Случайный шаг (%)
Определяет, как часто мы выбираем угол случайным образом. В этом руководстве этот параметр всегда будет равен нулю.
Левый угол
Число градусов для поворота влево, когда в правилах встречается знак «-».
Прямой угол
Число градусов для поворота вправо, когда в правилах встречается знак «+».
Случайный угол
Угол рандомизации. В этом руководстве этот параметр всегда будет равен нулю.
Давайте начнем с создания нашего первого фрактала: кривой Коха. Это обманчиво простой фрактал, но поможет вам начать создавать более сложные фракталы.Кривая Коха составлена из четырех копий сам. Мы можем ясно видеть это на рисунке ниже: полная кривая Коха построена из черного Кривая Коха, красная кривая Коха, зеленая кривая Коха и синяя кривая Коха. Мы можем определить всю совокупность Коха кривой, определяя отношения между четырьмя частями кривой.
Назовем правило, определяющее кривую Коха «F» (от Fractal). Черная кривая Коха идентична оригиналу Кривая Коха (хотя и поменьше).Красная кривая Коха идентична черной кривой Коха, но повернута на 60 градусов. влево (против часовой стрелки). Зеленая кривая Коха идентична красной кривой Коха, но повернута на 60 градусов. справа от черной кривой, которая находится на 120 градусов правее красной кривой Коха. Синяя кривая Коха идентична черной кривой, поэтому она повернута на 60 градусов влево от зеленой кривой. Следовательно, правило сделать фрактал Коха
F = F-F ++ F-F
, где «-» означает поворот влево на 60 градусов, а «+» означает поворот вправо на 60 градусов.Обратите внимание, что угол поворота всегда относительно той части фрактала, которая непосредственно предшествует текущей части фрактала. фрактал. Таким образом, зеленый фрактал ориентирован на 120 градусов (два поворота на 60 градусов) вправо от красного. фрактал.
Теперь мы можем определить фрактал, введя следующие параметры:
Аксиома: F
Правила: F = F-F ++ FF
Порядок: 5
Длина шага: 2
Случайный выбор шага: 0
Левый угол: 60
Правый угол: 60
Произвольный угол: 0
Нажмите кнопку Применить , чтобы просмотреть фрактал.Вы можете отодвинуть окно меню L-системы в сторону. так что вы можете увидеть фрактал. Обратите внимание, что ваш фрактал будет ориентирован в вертикальном направлении, а не в горизонтальном. направление. Просто щелкните значок поворота в строке меню Inkscape, чтобы повернуть фрактал.
Вы можете увеличить количество деталей во фрактале, увеличивая порядок, но это также будет экспоненциально увеличить как размер фрактала, так и количество вычислительного времени и памяти, необходимых для рендеринга фрактал.Если вы не уверены в порядке, начните с небольшого числа, например 3, а затем медленно увеличивайте порядок. пока вы не нарисуете фрактал с нужным уровнем детализации.
Попробуем составить несколько более сложный фрактал: треугольник Серпинского.
На первый взгляд кажется, что треугольник Серпинского состоит из трех идентичных копий самого себя. Однако мы хотите построить треугольник, используя одну кривую, и невозможно построить такую кривую, используя три одинаковых копии той же кривой.Посмотрите на треугольник A: на самом деле это кривая, которая начинается в нижнем левом углу и продолжается в левый верхний угол. Это означает, что нам нужно нарисовать красный треугольник, затем зеленый треугольник и, наконец, синий треугольник. Однако красный треугольник находится слева от пути рисования, а зеленый треугольник — справа. пути рисования. Глядя на треугольник A, мы видим, что он лежит справа от траектории его рисования, а треугольник B лежит слева от его пути рисования.Таким образом, нам нужны два набора правил, чтобы нарисовать треугольник Серпинского:
А = Б-А-Б; В = А + В + А
с аксиомой «А» или «В» для создания фрактала.
Еще один пример: фрактальная снежинка. Снежинка показана на рисунке ниже, визуализированном с использованием трех разных порядков. каждая обозначается соответствующим значением n . Когда порядок равен 3, вы можете увидеть довольно хорошее представление фрактал снежинка.
На первый взгляд, снежинка состоит из семи копий самой себя.Однако каждая копия представляет собой одну кривую, а кривые каждый должен вести от одного к другому. На самом деле существует четыре разных варианта каждой снежинки. Снежинка А листья под углом 60 градусов вправо от угла въезда. Снежинка B уходит под углом 60 градусов влево; снежинка C уходит под углом 120 градусов вправо, а снежинка D уходит под углом 120 градусов влево. Определив эти направления, нам теперь нужны правила для определения каждой снежинки в терминах других.Это сделано, как показано на иллюстрации выше, разбив каждую снежинку на семь меньших копий, а затем соединив эти семь частей вместе.
Один загадочный шаг в этих правилах включает заключительные ротации для правил C и D. Эти финальные ротации необходимы, потому что окончательная ориентация, достигнутая в конце правил, указывает в неправильном направлении. То есть без окончательного поворота, правила приведут вас в нужное место, чтобы нарисовать следующую часть снежинки, но правила не обязательно укажут вам в правильном направлении.
Созданный фрактал можно рассматривать как любой другой графический объект в Inkscape. Например, вы можете использовать техника вырезания из 98-й серии Screencasters вместе с тремя соединенными кривыми Коха, чтобы создать причудливое изображение снежинки ниже.
Основная идея состоит в том, чтобы вычесть фрактал из белого прямоугольника, а затем вычесть тот же фрактал из меньшего черного прямоугольника. прямоугольник. Размажьте черный прямоугольник и поместите его за белым прямоугольником.Отверстие в белом прямоугольнике позволяет увидеть размытый черный прямоугольник, который выглядит как тень при небольшом смещении от белого прямоугольника.
Фракталы L-системы могут создавать гораздо больше типов фракталов, чем те, которые вы видели здесь. Например, можно создавать фракталы с несколькими линиями. Также возможно запомнить точку на фрактальном пути, а затем вернуться к этот запомненный пункт. Например, следующие правила сгенерируют мозаику Пенроуза, которая не является фрактальной, но и не является периодическая структура:
Аксиома
[N] ++ [N] ++ [N] ++ [N] ++ [N]
Правила
M = OA ++ PA —- NA [-OA —- MA] ++;
N = + OA — PA [— MA — NA] +;
O = -MA ++ NA [+++ OA ++ PA] -;
P = — OA ++++ MA [+ PA ++++ NA] — NA;
A =
Заказать
4
Длина шага (пикс.

Leave a comment

10.09.1978