Используя эта-расширение, закон ассоциативности можно для ясности переписать следующим образом:

или аналогично:

 (m >>= (\x -> g x)) >>= (\y -> h y)
 

 m >>= (\x -> g x >>= (\y -> h y))
 

Это действительно «ассоциативный закон»?

В таком виде не на первый взгляд.Чтобы точно понять, почему они известны как тождественные и ассоциативные законы, вы должны немного изменить свои обозначения.

Оператор монадной композиции (>=>) (также известный как оператор Клейсли-композиции ) определен в Control.Monad :

 инфикср 1 >=>
(>=>) :: Монада m => (a -> m b) -> (b -> m c) -> (a -> m c)
f >=> g = \x -> f x >>= g
 

С помощью этого оператора три закона можно выразить следующим образом:

Теперь легко увидеть, что монадная композиция является ассоциативным оператором с левым и правым тождеством.

Это очень важный способ выразить три закона монад, потому что это именно те законы, которые необходимы монадам для образования математической категории. Подводя итог хайку :

Аксиомы монад:

Композиционные формы Клейсли

категория.

Законы монад на практике

Если мы перепишем законы, используя Haskell’s do -notation:

 делать { х' <- вернуть х;
     х'
   }
 

 делать { у <- делать { х <- м;
               ж х
             }
     г у
   }
 

 делать { х <- м;
     делать { у <- ж х;
          г у
        }
   }
 

 делать { х <- м;
     у <- f х;
     г у
   }
 

мы видим, что законы представляют собой простые, обычные преобразования императивных программ, основанные на здравом смысле.

Но почему монадические типы должны удовлетворять этим законам?

Когда мы видим программу, написанную в форме в левой части, мы ожидаем, что она будет делать то же самое, что и соответствующая правая часть; наоборот. И на практике люди время от времени пишут, как более длинная левая сторона.

• Первый пример: новички склонны писать

 skip_and_get = do unused <- getLine
                  строка <- getLine
                  обратная линия
 

, и это действительно сбило бы с толку как новичков, так и ветеранов, если бы это не действовало так (по правильной идентичности ):

 skip_and_get = do unused <- getLine
                  getLine
 

• Второй пример: Далее вы можете использовать skip_and_get :

 main = do answer <- skip_and_get
          поставитьStrLn ответ
 

Самый популярный способ понимания этой программы - это встраивание (независимо от того, делает ли компилятор это ортогональный вопрос):

 main = do answer <- (do unused <- getLine
                        getLine)
          поставитьStrLn ответ
 

и применяя ассоциативность, чтобы вы могли представить, что это так:

 main = do unused <- getLine
          ответ <- getLine
          поставитьStrLn ответ
 

Закон ассоциативности удивительно всеобъемлющ: вы всегда предполагали его и никогда не замечали.

Ассоциативность бинарного оператора позволяет комбинировать любое количество операндов, применяя бинарный оператор с любой произвольной группировкой, чтобы получить такой же четко определенный результат, точно так же, как результат суммирования списка чисел полностью определяется бинарным оператором (+) независимо от того, какие скобки используются (да, точно так же, как при свертывании списка любого типа моноидальных значений).

Независимо от того, используют ли их компиляторы или нет, вам все равно нужны законы для вашего собственного блага, просто чтобы не рвать на себе волосы из-за нелогичного поведения программы, которое зависит (хрупким образом!) от e.грамм. сколько избыточных возвращает s, которые вы вставляете, или как вы вкладываете свои do -blocks...

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie.Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie.Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

Парадокс классической композиционности и коалгебраическое разрешение

Введение

Весной 2011 года в приморском городе Сан-Хосе, Испания, ученые-когнитивисты собрались на семинар, чтобы переоценить проблему систематичности, поставленную Фодором и Пилишиным [1]. коннекционистам более чем двумя десятилетиями ранее. Эта встреча стала катализатором для сборника статей [2], в которых представлен широкий спектр взглядов на систематичность и ее значение для теории когнитивной архитектуры.Хотя был достигнут значительный прогресс в прояснении проблемы [3, 4] — т. е. того, почему систематичность обязательно следует из теоретических принципов, не полагаясь на произвольные дополнительные допущения для устранения пробелов в объяснении — консенсус в отношении объяснения кажется столь же неуловимым, как и прежде [5] .

Проблема систематичности для когнитивной науки состоит в том, чтобы объяснить, почему определенные когнитивные способности обычно сосуществуют [1]; почему, например, способность идентифицировать квадрат как верхний объект в сцене, состоящей из квадрата над треугольником, подразумевает способность идентифицировать треугольник как верхний объект в сцене, состоящей из треугольника над квадратом.В более формальном и общем смысле случай систематичности имеет место, когда человек обладает когнитивными способностями c ₁ тогда и только тогда, когда он обладает «структурно связанными» когнитивными способностями c ₂ [6], т. е. систематичность есть разделение когнитивные способности в структурно эквивалентные классы когнитивных способностей. Хотя ученые-когнитивисты могут согласиться с тем, что в основе случая систематичности лежит способность обрабатывать общую структуру, такую ​​как общее отношение над в вышеупомянутом примере, они расходятся во мнениях относительно предполагаемой природы таких процессов, т. е.g., символическое против субсимволического [7, 8], и являются ли такие предложения объяснением систематичности [3, 6].

Учитывая, что познание в значительной степени является систематическим, оценка предложений по объяснительным критериям имеет решающее значение. Достаточно общая теория познания может предоставить когнитивные модели, поддерживающие систематичность. Тем не менее, если та же самая теория предлагает модели, которые не поддерживают систематичность, то проблема состоит в том, чтобы объяснить, почему мы наблюдаем только соответствующие систематические случаи в интересующей области.Короче говоря, нам требуется объяснение систематичности, которое не опирается на примыкание произвольных ( ad hoc ) допущений для восполнения пробелов в объяснении, т. е. вспомогательных допущений, которые мотивированы только для соответствия данным, не могут быть проверены независимо от проверки теории, и не связаны с основными принципами теории [3].

В двух предложениях явно заявлены объяснения систематичности без обращения к специальным предположениям. Первым предложением является подход вычислительных систем символов [1], который мы будем называть классической композиционностью .Классическая композиционность характеризуется понятием маркировки : представления составных объектов маркируются всякий раз, когда маркируется представление его сложной сущности-хозяина. Каждая «позиция» в сложном представлении является доменом для процесса вывода. Следовательно, если существует процесс доступа, скажем, к первому компоненту пары, то этот процесс распространяется на все составные представления, которые могут заполнить первую позицию. Другим предложением является подход математической теории категорий [9] [10], который мы будем называть категориальной композиционностью .Центральное место в категориальной композиционности занимает (формальное) понятие универсальной конструкции , где каждый случай в наборе систематически связанных когнитивных способностей получается морфизмом , который факторизуется через (т. е. включает) общее или разделяемое компонент, называемый универсальным морфизмом . Следовательно, наличие универсального морфизма, составляющего одну емкость, подразумевает наличие всех способностей, разделяющих этот морфизм, при условии, что морфизмы соответствуют другим составляющим способностям, таким как те, которые соответствуют квадрату и треугольнику.

Систематичность второго порядка

Обучение – это познавательная способность (второго порядка); когнитивная способность, которая порождает другие когнитивные способности. Следовательно, используя характеристику систематичности как классов эквивалентности структурно связанных когнитивных способностей [6], мы имеем другую форму систематичности, т.е. наличие обучаемости способности l ₁ приобрести когнитивную способность c ₁ если и только если человек обладает структурно связанными способностями к обучению l ₂ для приобретения когнитивных способностей c ₂ , которые называются систематичностью второго порядка [3]. Эта характеристика систематичности второго порядка аналогична характеристике систематичности первого порядка. (Для сравнения, систематичность первого порядка означает наличие когнитивных способностей c ₁ тогда и только тогда, когда человек обладает структурно связанными когнитивными способностями c ₂ .) Айзава [3], цитируя Хомского [11], приводит пример от языка: человек способен выучить один естественный язык (скажем, китайский), если он способен выучить другой (скажем, немецкий).Приземленный пример систематичности второго порядка можно найти в экспериментальной психологии, где испытуемым платят за участие в нескольких экспериментах, связанных с различными когнитивными задачами, просто из соображений логистики: обычно субъект может научиться (посредством инструкции) выполнять одну когнитивную задачу. задача, если они могут научиться выполнять другую познавательную задачу. Такие ситуации обычно связаны с заданиями, разработанными с использованием разных материалов и процедур, чтобы избежать искажения результатов (например, задание на завершение основы слова и задание на мысленное вращение).

Второй пример намекает на важный аспект систематичности второго порядка, который, как мы покажем, влияет на теории когнитивной архитектуры: изучаемые способности ( c ₁ и c ₂ ) не обязательно должны быть систематически связаны друг с другом; структурное отношение должно иметь место только на уровне второго порядка, то есть между соответствующими способностями к обучению ( 1 ₁ и 1 ₂ ). Примером, относящимся к классическому объяснению систематичности, является заучивание (или запоминание) ассоциаций.Например, если у человека есть возможность узнать, что первый день японского финансового года приходится на 1 апреля , то он также способен узнать, что атомный номер углерода равен 6 на синтаксическом или семантическом уровне. (см. [12] для синтаксической и семантической систематичности), предполагая, что уже можно представить объекты, которые будут связаны, например, японский финансовый год, 1 апреля, атомный вес (углерод) и число 6. Интуиция, стоящая за этим примером, заключается в том, что не должно быть никаких внутренних структурных отношений между субъектами различных ассоциаций, т.е.г., японский финансовый год и атомный вес (углерод). Внутренние структуры соответствующих понятий не играют роли в этом примере систематичности, в отличие от примера квадрат-треугольник, где внутренняя структура представляет собой то же самое отношение. Тем не менее существует внешнее структурное отношение в том смысле, что каждый факт можно рассматривать как отображение понятия в значение признака. Как мы вскоре уточним, этот пример является законным примером систематичности (на уровне второго порядка), учитывая, что систематичность была охарактеризована как отношение структурной эквивалентности по отношению к когнитивным способностям [6].

Мы развиваем понятие систематичности второго порядка в ассоциативном обучении, сначала вспоминая характерные черты ассоциативного обучения. «Ассоциативное обучение… в основном это обучение, возникающее в результате переживания непредвиденных обстоятельств или прогнозирующих отношений между событиями» [13] (стр. 18). Характерной чертой ассоциативного обучения, общей для людей и животных, является то, что непредвиденные обстоятельства предсказуемы, отсюда и принцип, согласно которому процессы ассоциативного обучения включаются, когда результат не предсказуем [14].Так, например, неоднократно видя, что за красным цветом постоянно следует продукт питания в местоположении A , а за цветом синий постоянно следует продукт питания в местоположении B , участник узнает, что на последующие цветовые события, чтобы предсказать местоположение продукта питания. Таким образом, по сути, ассоциативное обучение — это обучение определенной функции от набора сигналов (например, цветов) до набора целей (например, местоположений). Преимущество функциональной характеристики ассоциативного обучения, подобной только что данной, состоит в том, что она не предполагает конкретного (т.г., ассоциативная сила [15] или пропозициональная [16]) теория ассоциативных процессов обучения [17].

Несмотря на это, казалось бы, простое определение, на эффективность ассоциативного обучения влияет множество факторов, таких как предрасположенность к обучению (т. е. склонность к обучению), временные непредвиденные обстоятельства и отношения сигнал/цель, отсюда и обширная литература по этой теме [13]. Действительно, вопрос о том, опосредовано ли ассоциативное обучение изменением ассоциативной силы или пропозициональным выводом, до сих пор активно обсуждается (см. [15, 16]).Важнейшая особенность, которая, по-видимому, способствует обучению, основанному на выводах, заключается в том, можно ли интерпретировать связанные элементы с точки зрения причинно-следственных связей [18]. Рассуждения требуют времени, поэтому нехватка времени способствует альтернативному ассоциативному обучению, основанному на силе [19], что согласуется с общим различием Типа 1 и Типа 2 когнитивного процесса, в котором время является решающей характеристикой [20, 21]. Следовательно, с целью выявления парадокса классической теории мы сосредоточимся на изучении парных ассоциатов, отношения которых бессмысленны, а не предсказуемы (см. г., [19, 22, 23]). В этом смысле ассоциативное обучение характеризуется как функция (второго порядка), которая принимает список пар сигнал-цель и возвращает функцию (первого порядка), которая представляет собой карту набора сигналов на набор целей.

Как следует из этой основанной на множестве функциональной характеристики, только идентичность элемента (сигнала) имеет отношение к ( элементному ) ассоциативному процессу. Сигналы обычно имеют дополнительную (внутреннюю) структуру, например, слова состоят из букв, изображения состоят из пикселей, но эта структура не используется для вычислений.Это различие важно, иначе любая карта ввода-вывода может рассматриваться как ассоциация, что мы не поддерживаем [24]. Ясно, что такие ассоциативные процессы (функции первого порядка) не могут поддерживать систематичность первого порядка, где общие структурные отношения являются отношениями между составляющими сигнала, потому что эти ассоциативные процессы (по определению) не используют внутреннюю структуру сигнала. Аналогичные соображения применимы к внешней структуре сигналов, например, к топологическим (окрестности) и отношениям подобия (метрическим) между другими сигналами.Такие отношения, конечно, важны для других видов ассоциативных и неассоциативных процессов. Наша точка зрения состоит в том, что даже при отсутствии структурно-чувствительных процессов первого порядка все еще существует форма систематичности второго порядка, которую мы охарактеризуем далее.

Наша характеристика систематичности второго порядка ассоциативного обучения соответствует обычному понятию систематичности первого порядка. Учитывая, что ассоциативные способности к обучению являются функциями второго порядка, как было описано ранее, систематичность ассоциативного обучения второго порядка относится к структурным отношениям между такими (второго порядка) функциями.С функциональной точки зрения, систематичность второго порядка ассоциативного обучения имеет ассоциативную способность к обучению (т. е. функцию второго порядка) F ₁ тогда и только тогда, когда она имеет структурно связанную ассоциативную способность к обучению F ₂ , где F _i возвращает ассоциативную емкость первого порядка f _i . Типичные примеры следуют из процедур зубрежки: участники заучивают набор пар «сигнал-цель» (например,г., отображение набора из четырех букв алфавита в набор из четырех фигур) к какому-либо критерию, скажем, правильной целевой реакции на тестовый блок из четырех сигналов. Эта процедура повторяется для другого набора пар сигнал-цель, включая те же классы сигналов и целей или другие классы (например, отображение набора из четырех цветов в набор из четырех слов). Человек демонстрирует систематичность второго порядка свойства ассоциативного обучения, когда можно выучить первую карту тогда и только тогда, когда можно выучить вторую карту.Здесь нет свойства систематичности первого порядка, потому что карты не имеют общих структурных отношений между соответствующими сигналами.

Ясно, что люди демонстрируют это свойство систематичности второго порядка, о чем свидетельствуют многочисленные исследования эффектов передачи обучения, также называемых обучением для обучения (см. , например, [22, 25] и цитируемые там исследования). Целью этих исследований является изучение факторов, влияющих на количество обучающих испытаний для критерия для каждого списка.Изучение первого списка обычно требует наибольшего количества попыток. Количество попыток, необходимых для изучения последующих списков, варьируется в зависимости, например, от того, включали ли они тот же класс сигналов/целей, что и первый список [22], или исправление того же набора сигналов и целей [25]. Для нашей цели релевантные данные этих исследований заключаются в том, что (в целом) вы не найдете участников, которые могут выучить один список парных ассоциаций, но не могут выучить другой список. Таким образом, парное ассоциированное обучение является законным примером свойства систематичности второго порядка человеческого познания.

Важное предостережение в отношении этого свойства касается изучения конфигурационных ассоциаций, т. е. когда результаты предсказываются только сочетанием сигналов, а не отдельными сигналами (элементарная ассоциация). С точки зрения обучения по спискам условие [AB, CD] (т. е. ни один сигнал/цель не повторяется внутри или между списками) можно рассматривать как элементную ассоциацию, потому что каждый сигнал (первый список A или второй список C) предсказывает каждая цель (первый список B или второй список D) не зависит от (первого, второго) контекста списка.Напротив, условие [AB, ABr] (т. е. второй список содержит повторную пару сигналов и целей в первом списке) можно рассматривать как конфигурационную ассоциацию, поскольку только сочетание контекста списка и сигнала предсказывает каждый результат. . Листовая способность к обучению в состоянии [AB, ABr] подвергается длительному развитию с семилетнего возраста [23]. Этот результат согласуется с более ранними выводами, показывающими, что дети старшего возраста, но не младшие (в возрасте около 4,5 лет), преуспевают в конфигурационном различении (ответ на A в контексте 1, но B — в контексте 2) и поперечных паттернах (ответ на к A в присутствии B, B в присутствии C и C в присутствии A), результаты которых предсказуемы только с помощью соединения сигнал/контекст [26] (см. также [27]).Элементные и конфигурационные ассоциации отличаются своим репрезентативным рангом [24]. Важность этого различия заключается в том, что ассоциативное обучение — это не просто один (вырожденный) класс эквивалентности способностей. Точно так же, как у нас могут быть различные схемы систематики первого порядка, мы можем иметь различные схемы систематики второго порядка ассоциативного обучения.

Взаимосвязь между уровнями когнитивных способностей первого и второго порядка согласуется с обычной трактовкой функций высшего порядка в математике и информатике.А именно, функция второго порядка, например, вставка , может принимать функцию первого порядка, например, сложение (+), и возвращать функцию первого порядка, в этом случае суммировать : например, вставить (+)[1, 2, 3] = 1 + 2 + 3 = 6. Применяя вставить к функции первого порядка меньше (⊲), т. е. меньшее число (например, 4 ⊲ 2 = 2), дает функцию первого порядка минимум : например, вставить (⊲)[4, 2, 6] = 4 ⊲ 2 ⊲ 6 = 2. Функции первого порядка суммируют и минимум : связаны через общую функцию второго порядка, вставить .Более того, эта связь между функциями второго и первого порядка аналогична обычному пониманию связи между составными представлениями и их составляющими для когнитивных способностей (первого порядка), как в отношении (первого порядка) Джон любит Мэри и его составляющие (нулевого порядка) Джон и Мария .

Обратите внимание, что систематичность второго порядка, как только что описанное расширение системности (первого порядка) более высокого порядка, не является тем же самым понятием, что и слабая/сильная систематичность [12], которая была определена как критерий (обучения) для оценки обладает ли коннекционистская модель свойством «систематичности».Слабая/сильная систематичность является критерием обобщения (прогнозирования), т. е. при определенных видах обучающих (обучающих) примеров, когда модель обучается реагировать с целевыми выходными данными при соответствующих входных данных, правильно предсказывать целевые ответы для определенных видов тестирования (невидимых ) входы. Таким образом, слабая/сильная систематичность относится к изучению свойства систематичности первого порядка, т. е. приобретение способности c ₁ путем обучения на подмножестве обучающих примеров подразумевает способность c ₂ , как оценивается подмножеством тестовых примеров.Также напомним, что систематичность (первого порядка) [1, 6] не является свойством обобщаемости. Скорее, это свойство эквивалентности: если познающий обладает когнитивными способностями c ₁ , независимо от того, обеспечена ли эта способность каким-либо процессом обучения/развития, обучения или генетически обусловленным процессом, то познающий также обладает когнитивными способностями в ₂ . Аналогично, для систематики второго порядка, если познающий обладает способностью учиться когнитивным способностям c ₁ , независимо от того, обеспечивается ли наличие этой способности каким-либо обучением обучению, обучением обучению или генетически обусловленным процессом обучения, тогда Когнитор обладает способностью к обучению когнитивным способностям c ₂ . Короче говоря, слабая/сильная систематичность касается изучения свойства систематичности (первого порядка), тогда как систематичность второго порядка касается систематичности конкретных способностей к обучению (см. также Обсуждение).

Обратите внимание, далее, что систематичность второго порядка включает в себя два подтипа: (1) систематичность второго порядка без сопутствующего свойства систематичности первого порядка, например, систематическое изучение ассоциаций, которому посвящена эта статья; и (2) систематичность второго порядка с сопутствующим свойством систематичности первого порядка, т.е.ж., систематическое изучение естественных языков, которое мы здесь специально не рассматриваем. Мы сосредоточимся на первом подтипе, потому что это самый простой пример, который подчеркивает необходимость обращения ко второму уровню систематичности. Естественно, мы признаем, что второй подтип также важен. Этот второй подтип обсуждается в другом месте [28].

Контур

Возможно, неудивительно, что наше объяснение систематичности второго порядка может быть охарактеризовано как версия второго порядка нашего более раннего объяснения систематичности (первого порядка) (см. [10]).В следующем разделе мы утверждаем, что систематическое изучение ассоциаций представляет собой парадокс для классической теории, потому что усвоенные репрезентации не разделяют структурных отношений между их составляющими; более того, потому что в таких случаях не должно быть никаких учредительных представлений. В следующих двух разделах мы предлагаем решение и соответствующую модель, которые следуют из нашего теоретико-категориального объяснения систематичности, основанного на универсальных конструкциях [10]. Текущая работа обобщает понятие (первого порядка) общих структурных отношений между составляющими представлениями до понятия (второго порядка) общих структурных отношений между составляющими процессами или отношений второго порядка.Последствия этого результата обсуждаются в последнем разделе. Дополнительные теоретические детали приведены в дополнительных текстах S1, S2 и S3 Texts.

Классическая композиционность и каноничность

Классическая композиционность — это представление о том, что представления и процессы, относящиеся к сложным объектам, т. е. объекты, состоящие из других объектов, состоят из представлений и процессов, соответствующих составным объектам, структурно непротиворечивым образом.Для примера выше есть представление треугольника, представление квадрата, и структурная связь между этими двумя представлениями соответствует пространственному отношению треугольника и квадрата. Благодаря непротиворечивости этого соответствия между примерами пар объектов способность выбирать «верхнее» представление для треугольника над квадратом подразумевает способность выбирать лучшее представление для квадрата над треугольником, потому что это один и тот же процесс. .

С этого момента мы вводим обозначения для облегчения описания дополнительных понятий теории категорий, используемых для рассмотрения систематики. Морфизм F от объекта A на объект B на объекте B написан F : A → B , где A называется домен и B The Codomain ф .Морфизм F : B : B → B , состоящий из морфизма г : г → C → C - это композитный морфизм г ∘ F : A → C . Морфизм идентичности , связанный с объектом A , записывается как 1 _A : A → A . Составление морфизма f : A → B с тождественным морфизмом 1 _A или 1 _B приводит к f , т.е.е., 1 _B ∘ F = F = F = F ∘ 1 ∘ 1 A и композиция не зависит от порядка оценки, то есть H ∘ ( г ∘ ж ) = ( ч ∘ г ) ∘ ж . В случае, когда объекты являются множествами, а морфизмы функциями, f : A → B , отображение каждого элемента a в A на элемент b в B иногда записано f : a ↦ b , или f ( a ) = b .

Выбор категории будет зависеть от того, какой аспект познания исследуется. Когда детали внутренних состояний и процессов неизвестны или неуместны, мы можем выбрать абстрактную категорию, в которой природа объектов и морфизмов не определена или не имеет внутренней структуры. В других ситуациях мы также можем захотеть смоделировать внутреннюю структуру когнитивных состояний и процессов. Например, сети ассоциаций можно смоделировать как ориентированных графов , где каждый граф состоит из набора узлов (ассоциатов) и набора ребер (сил ассоциаций).Каждый граф является объектом в категории (ориентированных) графов Grph , чьи морфизмы являются гомоморфизмами графов , сохраняющими структуру графа, т. е. гомоморфизм графа состоит из двух карт, карты для узлов и карты для ребер , так что исходный и целевой узлы каждого края сопоставляются с исходным и целевым узлами отображаемого края.

Когнитивную систему также можно рассматривать как совокупность подсистем, и в этом случае нам требуется способ моделирования отношений между подсистемами.Если мы моделируем подсистемы как категории, то подходящим способом моделирования отношений между подсистемами являются морфизмы между категориями, называемые функторами . Эндофункторы — это функторы из категории в ту же категорию, которые используются для моделирования рекурсивных процессов. Категории — это «обобщенные» графы, в том смысле, что каждая категория — это граф с петлей в каждом узле и ребром для каждого связанного пути. Это представление облегчает понимание функтора как гомоморфизма обобщенного графа или гомоморфизма категорий.Категория состоит из набора объектов и набора морфизмов. Следовательно, функтор состоит из отображения объектов и отображения морфизмов в категории предметной области на (соответственно) объекты и морфизмы в категории кодовых областей. Таким образом, если F : C → D → d → D - это функтор и F : A → B - это морфизм в C , затем F ( F ): F ( A )→ F ( B ) является морфизмом в D .Компонент морфизма функтора F : C → C → D должен сохранить идентичность, то есть F (1 _A ) = 1 9 F ( A ) , т. е. F ( г ∘ f ) = F ( г ) ∘ F ( f ), ср. гомоморфизм графов.

Формальное, категоричное понятие универсальной конструкции (универсальный морфизм) занимает центральное место в нашем объяснении систематичности.Подсистемы предоставляют информацию, обычно требуемую другими подсистемами. Например, кратковременную память можно рассматривать как подсистему хранения информации о целевом объекте, которая требуется исполнительной функции для сравнения с объектами, находящимися в данный момент в поле зрения, скажем, в задаче визуального поиска или в отсроченной задаче. задание на сопоставление с образцом. Такая информация полезна только в том случае, если структуры, требуемые принимающей системой, сохраняются при передаче системой-отправителем и в формате, доступном для получателя.Как мы уже видели, функтор моделирует процесс сохранения структуры. Универсальный морфизм моделирует ситуацию, когда эта информация универсально (систематически) доступна получателю.

Конструкции теории категорий, включая универсальные морфизмы, обычно имеют две формы, основанные на направлениях стрелок, составляющих конкретную конструкцию. Связь между такими конструкциями называется двойственной . Например, исходный объект — это объект, у которого есть стрелка от него к каждому объекту в категории окружения. Конечный объект , двойственный по отношению к начальному объекту, представляет собой объект, к которому ведет стрелка от каждого объекта в окружающей категории. Двойные конструкции часто обозначаются префиксом «co». Таким образом, понятия коалгебры и корекурсии , введенные в следующем разделе и занимающие центральное место в нашем категориальном подходе к систематике второго порядка, являются двойственными конструкциями более знакомых понятий алгебры и рекурсии.

Коалгебры и корекурсия

Теория категорий обеспечивает систематическое рассмотрение корекурсии в форме коалгебр и анаморфизмов, которые составляют основу нашей категориальной модели ассоциативного обучения. Для сравнения, более знакомое (двойственное) понятие рекурсии и его трактовка теорией категорий приведены в S2 Text. Здесь мы приводим несколько простых примеров анаморфизмов в качестве концептуального руководства по теории (см. текст S1) и нашей последующей модели.

Повторение элемента n число раз реализуется как анаморфизм, , где 0? проверяет, равно ли число нулю, является ли константная функция возвращающей безымянный элемент *, 1 является константной функцией, возвращающей 1, dec уменьшает число на 1, и поэтому 〈1, dec 〉 является функцией продукта N ↦ (1, n - 1) -in General, < F , г >: x ↦ ( F ( x ), г ( x )).См. Текст S1 (Диаграмма 9) для сравнения. Использование ⋅ для обозначения перед (также называемое cons ), т. е. h ⋅ t добавляет (головной) элемент h в (хвостовой) список t и возвращает список с h 90. element и t как остальную часть списка, и [] для обозначения пустого списка, например: Это список из трех единиц. Обратите внимание, что только что приведенный анаморфизм представляет собой вычисление без состояния (или без памяти).Чтобы подсчитать элементы, мы должны сохранить количество ранее подсчитанных элементов. Например, принимает количество подсчитанных элементов и список l ∈ L _X элементов из X и возвращает прогрессивное количество элементов списка. В этом примере условное e ? проверяет наличие пустого списка (во втором компоненте данной пары), т. е. элементов, подлежащих подсчету, и прекращает подсчет, когда список оставшихся элементов пуст, с помощью , или увеличивает счетчик и удаляет подсчитанный элемент из список через функцию продукта 〈 вкл. , + 〉.Функция вкл : ( n , l ) ↦ n + 1 увеличивает счетчик (левый компонент) и игнорирует список; функция tailr : ( n , h ⋅ t ) ↦ ( n + 1, t ) поддерживает новый счет и удаляет подсчитанный элемент из списка элементов, подлежащих подсчету. Сравните текст S1 (диаграмма 9): объект A теперь представляет собой множество натуральных чисел, а X — это декартово произведение натуральных чисел на множество списков элементов из множества X .Например,

Достаточно простого примера, чтобы проиллюстрировать механизм. Анаморфизм, представленный на приведенной выше диаграмме, переименован в m _ext , модель с внешней памятью. Предположим, исходный список пар: [(хлеб, масло), (нож, вилка), (нож, масло)]. Начальное состояние ассоциативной сети установлено на пустой граф и . Обозначим парный и сетевой списки во время t как p _t и g _t соответственно.Следовательно, исходный список пар p ₀ содержит три пары, а исходная сеть g ₀ = e . Первый шаг вовремя м _Ext ( P ₀ , г ₀ ) = г ₁ ⋅ M _{( P 1 , g 1 ), где g 1 — сеть ассоциаций, содержащая одно ребро σ 1 : хлеб → масло (т.е., ассоциация от хлеба к маслу с силой ассоциации σ 1 ), а p 1 — список пар [(нож, вилка), (нож, масло)]. Этот процесс продолжает соответственно получить г 1 ⋅ G 2 ⋅ г 3 ⋅ M M Ext ( P 3 , г 3 ) в этот момент модель возвращает пустой список (сетей) и завершается списком [ g 1 , g 2 , g 3 ]. Это эволюция ассоциативных сетей с течением времени, где 90 449 г 90 450 90 451 3 90 452 является конечным состоянием сети, показанным на следующей диаграмме: В случае семантической систематичности, которая влечет за собой понимание значения связанных составляющих, G представляет собой набор графов семантических ассоциаций; в случае синтаксической систематичности, когда составляющие (например, хлеб) понимаются просто как последовательность символов, G представляет собой набор ассоциативных графов символов (строк).}