24.12.1981

by : alexxlab Разное

Параллелограмм как рисовать: Как построить параллелограмм. Способ 1

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается S_бок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается S_полн).
Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается S_бок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается S_полн).
Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l₁, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a₁ и b₁, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a₁ и b₁.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a₁ параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a₁ и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

Точки M и M₁ называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM₁.
Точки M и M₁ называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM₁ и перпендикулярна ему.
Точки M и M₁ называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM₁ и перпендикулярна этому отрезку.
Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

Призма

К оглавлению…

Определения:

Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
Боковая поверхность – объединение боковых граней.
Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: S_осн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A₂B₂C₂D₂E₂).
Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: S_сеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA₁ или BB₁ и так далее).

Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: P_сеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: P_осн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S_осн∙h = S_осн∙l.

Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
Правильная призма является прямой.

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = S_осн∙h).
Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d² = a² + b² + c².

- Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
- Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
- Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т. е. в точку пересечения биссектрис основания.
Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению. ..

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: S_осн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: S_бок – площадь боковой поверхности, S₁, S₂, S₃ – площади боковых граней.

Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A₁B₁C₁.
Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA₁B₁B.
Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA₁.
Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S₁ и S₂ – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P₁ и P₂ – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = OВ = OС = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО₁

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению. ..

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r₁, r₂ − радиусы оснований шарового слоя, S₁, S₂ − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т. е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S_{полн. цилиндра} вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

Конус

К оглавлению…

Определения:

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
Радиусом конуса называется радиус его основания.
Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: S_осн = πR². Следовательно, площадь полной поверхности конуса S_{полн. конуса} вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
Все образующие усеченного конуса равны между собой.
Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S₁ = πr₁² и S₂ = πr₂² – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r₁ и r₂ – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P₁ = 2πr₁ и P₂ = 2πr₂ – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Конус и пирамида

К оглавлению…

Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Рабочая тетрадь по геометрии. Геометрические фигуры как учебное пособие для разновозрастных групп

КРОССВОРД

Cумма длин сторон называется … многоугольника.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются … .
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая … областью многоугольника.
Многоугольник называется … , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Две несмежные стороны четырехугольника называются … .
Четырехугольники бывают выпуклыми и … .
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В параллелограмме противоположные … равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся … .
Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются … .
Трапеция называется … , если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется … .
… называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
… прямоугольника равны.

Многоугольники

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, СD, DK, KE, EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником (рис. 1). Точки A, B, C, D, K, E, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, СD, DK, KE, EF, FA — сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)* 180˚.

Четырёхугольники

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.

Каждая диагональ четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180˚, то сумма углов четырёхугольника равна 360˚.

Вопросы и задачи.

Найдите сумму углов выпуклого:
а) пятиугольника;
б) восемнадцатиугольника;
в) десятиугольника.
Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм, 5 мм.
Чему равны углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
Решите ребусы:

Является ли многоугольником фигура, изображённая на рисунке 1?

Параллелограмм

Параллелограммом (рис. 2) называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Рассмотрим свойства параллелограмма:

1° В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.3). Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AB= CD, AD= BC и ∟B=∟D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ∟A=∟1+∟3=∟2+∟4=∟C

2° Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть О – точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 4). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AO=OC OB=OD.

Признаки, по которым можно отличить параллелограмм от других четырёхугольников:

1° Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2° Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

3° Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной (рис. 5), если её боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис.6).

Вопросы и задачи.

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:
а) ∟BAC=∟ACD и ∟BCA= ∟DAC;
б) AB║CD, ∟A=∟C.
Периметр параллелограмма равен 48 см. найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона на 3см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой.
Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого АВ≠ВС и угол Аострый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK- параллелограмм.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
Один из углов равнобедренной трапеции равен 68˚. Найдите остальные углы трапеции.
Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB;
б) по основанию BC,боковой стороне AB и диагонали BD.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Диагонали прямоугольника равны => если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Докажем, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Пусть в параллелограмме АВСD (рис. 7) диагонали AC и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD — общая сторона).Отсюда следует, что ∟А= ∟D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∟А=∟С и ∟В= ∟D. Таким образом, А=В=С=D. Параллелограмм выпуклый четырехугольник, поэтому А + В + С + D = 360˚.

Следовательно, А=В=С=D=90˚, то есть параллелограмм АВСD является прямоугольником.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Особое свойство ромба:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Рассмотрим ромб ABCD (рис. 8). По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный.

Так как ромб-параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО -медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC┴ BD и ∟BAC=∟DAC.

Квадрат

Квадратом (рис. 9) называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом.

Основные свойства квадрата:

1° Все углы квадрата прямые.

2°Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Вопросы и задачи.

Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOB и AOD равнобедренные.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите:
а) углы ромба;
б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
Постройте прямоугольник:
а) по двум смежным сторонам;
б) по стороне и диагонали;
в) по диагонали и углу между диагоналями.
Постройте квадрат:
а) по стороне;
б) по диагонали.

Дополнительные задачи и задания для повторения.

Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из сторон равна 10 см. Найдите остальные три стороны.
ABCD— квадрат, его диагонали пересекаются в точке О. Какое равенство верно?
A. АВ = CDБ. ВС = AD
B. ВС = АВ Г. АО = СО
Постройте параллелограмм по стороне а, диагонали d и углу b между ними.
Дан параллелограмм ABCD. Постройте равнобедренную трапецию АВСЕ с основанием ВС.
Диагональ квадрата равна 6 см. Найдите его сторону.
А. 3√2 Б. З√3 В. 4√3 Г. 6√2
Сторона ромба 6, а одна из его диагоналей равна 4√5. Найдите длину второй диагонали.
24 Чему равна диагональ квадрата со стороной 12 см?
А. 12√2см Б. 72см В. 24 см Г. 6 см
. Диагонали квадрата CDEFпересекаются в точке О. Чему равен ∟COF?
ABCD— равнобедренная трапеция, СН- ее высота.
Найдите основание AD, если AB = 13, СH=12см,BС=16см.
В квадрате CDEFпроведена диагональ СЕ. Чему равен ∟CEF?
28. Меньшая сторона прямоугольника равна половина его диагонали. Найдите угол между диагоналями.
29 ABCD— квадрат, а треугольник AMK — равнобедренный с боковой стороной, равной 8 см. Найдите периметр квадрата.
В ромбе МКНОугол КНО равен 84°, В — точка пересечения его диагоналей. Найдите углы треугольника MOB.
В ромбе ABCDвысота ВН делит сторону ADна отрезки АН = HD = 3 см. Найдите диагональ BDи ∟А. 32 . Известно, что ABCD — ромб. Какие утверждения верны?

Все его углы равны.
Его диагонали равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Его диагонали являются биссектрисами углов.
Его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
А. 1,3, 4 Б.2,3,5 В.3,4,5 Г.2,4,5

33 Диагонали четырехугольника ABCDпересекаются в точке М под углом 60°, причем AM= МС = ВМ = MD. Определите вид четырехугольника.
A. квадрат Б. прямоугольник
B. ромб Г. невозможно определить

Дана прямоугольная трапеция ABCD, причем CD = 4 см, АВ = ВС = 5 см. Найдите большее основание AD.

В прямоугольнике ABCDугол ВОС равен 130°.

Найдите углы треугольника COD.

ABCD — трапеция с основаниями 8 см и 20 см. Найдите длину отрезка BE, если DE= 15 см.

Дано: АВСЕ— трапеция, АВ = СЕ, ABCD — ромб, ВС = 6см, АЕ= 10см. Найти периметр треугольника DCE.

38 В равнобедренной трапеции BCDEугол B равен 80°. Найдите угол KDE, если отрезок DKпараллелен боковой стороне ВС.

Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника.
Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?

Какой четырехугольник называется прямоугольником?

Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.

ГЕОМЕТРИЯ

Знания и открытия индийских математиков в геометрии скромнее, чем в арифметике, алгебре и теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, эти сведения сообщались
общались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.

Геометрические теоремы приводились без доказательств. Обычно это был, только чертёж со словом, *смотри*. Лишь в редких случаях его сопровождали краткие пояснения. По-видимому, доказательства учащимся сообщались устно. В геометрических задачах вопросы
чаще всего сводились к вычислениям и гораздо реже — к построениям.

Самые ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии содержатся в руководстве по постройке алтарей и храмов — «Шульба-сутре». Храмы возводили, подчиняясь ряду правил. здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и быть сориентированы по странам света. Для этого требовалось умение строить прямой угол, квадрат, прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются целыми киотами.

Индийцы знали, как построить квадрат, равновеликий прямоугольнику, и квадрат, площадь которого кратна площади данного квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора. Бхаскара приводит доказательство этой Теоремы в виде чертежа с надписью’. *Смотри»,

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было высоко развито в Древней Греции. Линейкой пользовались ещё в Древнем Египте, но циркуль, по свидетельству древнеримского поэта Овидия, изобрели имения в Греции. Возможно, два этих инструмента потому и стали основными, что позволяли начертить две простейшие линии — прямую и окружность, а в математике решение задачи минимальными средствами всегда считалось признаком совершенства.

Для всех, кто изучает геометрию, задачи на построение никогда не потеряют своей привлекательности. Таких задач очень много. Познакомимся с основными методами их решения.

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ

В задачах на построение весьма важно четко сформулировать «правила игры», т. е. определить, какие операции можно выполнять с помощью циркуля и линейки. Правила эти совсем простые:

линейка считается односторонней, делений на ней нет и наносить их нельзя, с её помощью можно провести прямую через две заданные точки, и это всё;
циркулем по заданной точке О и отрезку/Ш разрешается построить окружность с центром О и радиусом, равным АВ;
точки пересечения построенных или заданных линий считаются построенными;
разрешается выбирать произвольную точку на плоскости, на или вне построенной прямой или окружности. (Впрочем, такие произвольные точки всегда можно построить.)

Несколько простейших построений (деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра и др. ) обычно принимают за основные, а все более сложные сводят к ним.

Построение правильного треугольника на отрезке АВ (рис. 1) используют для определения середины отрезка АВ\ она лежит на пересечении отрезка и прямой, соединяющей точки С и О пересечения окружностей, проводимых при этом построении. Здесь потребовалось провести три вспомогательные линии — две окружности и прямую. Меньшим числом линий в данном случае обойтись нельзя.

ГЕОМЕТРИЯ

Остаётся неизвестным, сколько и какие имен-1Ю аксиомы положили ранние пифагорейцы в основу своей геометрии, но все они относились к планиметрии прямолинейных фигур. Изучались свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и других плоских фигур, сравнивались их площади. Венчало их систему знаний доказательство знаменитой теоремы Пифагора, которая до этого была известна лишь как факт для некоторых частных случаев. Трудно переоценить значение теоремы Пифагора (см. статью «Треугольник, простейший и неисчерпаемый»). Ее обобщение сегодня лежит в основе определения всех метрических пространств.
Можно утверждать, что и в стереометрии пифагорейцы достигли значительных успехов. По свидетельству греческого историка и философа V в, Прокла, именно они построили пять правильных многогранников: тетраэдр, ко, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Ко, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Правда, многие современные исследователи считают, что Пифагору были известны лишь куб, тетраэдр и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский(IV в. до н. э.), талантливый ученик пифагорейца Феодора Киренского и Платона.

АСТРОНОМИЯ И ГАРМОНИЯ.

Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс).

ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК — ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

XVIII столетие — недолгий век. Просвещения между эпохами жестокой нетерпимости, всего лишь за шесть лет до рождения Леонарда Эйлера (1707-11783) в Берлине была публично сожжена последняя ведьма. А через шесть лет после его смерти вспыхнула Великая французская революция.

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда со всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить драгоценное время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в его родной Базель из Голландии семья Бернулли.

Уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Яковом и Иоганном. Вокруг братьев Бернулли сложился самый яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности математическим центром Европы после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год в кружке решались трудные и увлекательные задачи, а на смену им вставали новые.

Поступив в Базельский университет, Эйлер слушал лекции Иоганна Бернулли и подружился с его сыновьями — Николаем и Даниилом. Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их собственных гнезд, зато в далекой России по замыслу Петра I и по проекту Лейбницев 1724 г. Была учреждена Петербургская Академия наук. Русских ученых не хватало, и трое друзей- Леонард Эйлер и братья Даниил и Николай Бернулли отправились туда в поисках счастья и научных подвигов.

Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте! Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения( и проделал эту огромную работу в одиночку). Он расшифровывал перехваченные депеши. Он обучал молодых моряков высшей математике, астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль и в бурю. А еще составлял таблицы, необходимые для расчета артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. Только гений мог за этими трудами не забыть о большой науке. Эйлер и был гением. За 14 лет своего первого пребывания в России (1727-1741 гг.) он успел написать первый в мире учебник по теоретической механике, а также математической навигации многие другие труды. Писал Эйлер легко и быстро, простым и понятным языком, столь же быстро он овладевал новыми языками, но вкуса к литературе не имел. Математика поглощала все его время и силы.

В 26 лет Эйлера избрали Российским академиком, а через восемь лет он переехал из Петербурга в Берлин. Считаться «немцем в Петербурге было безопасно и престижно, а ученых немцев ценили на вес золота. Но он уже почувствовал себя одним из сильнейших математиков Европы- и вдруг заметил, что здесь ему не с кем на равных поговорить о своей науке. Приезжая иностранная молодежь повзрослела и либо покинула дикую, опасную Россию, либо погрязла в мелкой текущей работе. А первое поколение ученых-россиян еще не выросло(вспомним, что Ломоносов находился тогда на учебе в Германии). Эйлер решил переехать туда, где накал научных дисскусий был повыше. Он выбрал Берлин — там молодой король Фридрих II решил создать научный центр не слабее парижского.

Эйлер провел в Берлине четверть века и считал эти годы лучшими в своей жизни. У него вновь появилось много друзей ученых, в их числе президент Берлинской академии наук.
Эйлер занимался самыми разными проблемами, и почти всегда — успешно. Например, захотелось ему перенести все методы математического анализа на функции, зависящие от комплексных переменных, и он создал теорию элементарных функций комплексного переменного. Попутно выяснилось, что показательная функция и синусоида суть две стороны одной медали. Это выражается формулой:

в –cos=sin

которая доказывается при помощи степенных рядов.

ЖИВОПИСЬ И ГЕОМЕТРИЯ

Примерно с XIII в. художники (среди них итальянец Джотто де Бон-доне) начали экспериментировать с изображением пространства. Они «создавали» живописное пространство, изменяя размеры фигур, располагая по определённым правилам элементы архитектуры, детали ландшафта.

В то время на латинском Западе стали популярными трактаты по оптике, и в частности труд «Перспектива» польского учёного Целика Витало (около 1225 — около 1280). В нём описание оптических экспериментов сочеталось с изложением «высшей математики» той эпохи: фрагментов «Начал» Евклида, «Конических сечений» Апол-лония и «Перспективы» арабского математика X—XI вв. Ибн аль-Хай-сама (Альгазена). Интерес к геометрии пространства в конечном итоге привёл к открытию в живописи линейной перспективы с единой точкой схода. (Точнее сказать, этот приём был переоткрыт, поскольку им владели ещё древние греки.)

В XV в. итальянский архитектор и скульптор Филиппо Брунеллески написал две картины с видами Флоренции, применив законы перспективы. К сожалению, эти работы не сохранились. Историки спорят о том, обладал ли Брунеллески недюжинными познаниями в математике и других науках. Если так, то его картины представляли собой сложнейшие геометрические построения. Есть и другое мнение: Брунеллески вначале писал картины на зеркале, обводя и раскрашивая отражения. Именно это натолкнуло его на мысль о перспективном сокращении архитектурных форм. Вскоре у него появились ученики и последователи. В их числе — друг Брунеллески живописец Мазаччо. Его кисти принадлежит монументальное панно «Троица» во флорентийской церкви Санта-Мария Новелла, где художник применил единую точку схода уходящих в глубину линий. Страстным энтузиастом перспективы был и Паоло Уччелло.

Практическую геометрию изучали, отложив на время кисти и краски, величайшие художники и теоретики искусства Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Они использовали геометрическую технику в приложении к теории пропорций и перспективы в живописи.

«РЕНЕССАНС XII ВЕКА».

ГЕОМЕТРИЯ.

Новая волна переводов древнегреческих рукописей в Западной Европе пришлась на XII в. Это время называют «ренессансом (возрождением) XII века». Именно тогда возникли первые европейские университеты, создававшиеся обычно на базе крупных кафедральных школ. Как и гильдии средневековых ремесленников, университеты находились под покровительством светских и церковных иерархов и не зависели от произвола феодалов. Наиболее известные из университетов того времени — Парижский (Сорбонна) и Оксфордский, а также Болонский и Падуанский. Первые два баши особенно знамениты своими богословскими факультетами и факультетами «искусств», на которых изучали философию и математические науки. В XII в. впервые появились полные латинские переводы «Начал» Евклида, выполненные с арабского. Исчезло «варварское» прочтение классических текстов. Однако сама идея общности геометрии и практических приёмов измерений осталась и привела к появлению нового раздела математики — так называемой практической геометрии.

В трактатах по практической геометрии проблемы измерения полей всё больше уступали место задачам на нахождение расстояний до недоступных предметов (сами эти задачи восходили к римским источникам). Методы их решения вполне отвечали принципам геометрии Евклида. Наиболее известными из таких трактатов были труды монаха-бенедиктинца Гуго Сен-Викторского (?—1141), выдающегося итальянского математика Леонардо Пизанского. Известного также под именем Фибоначчи. Парижского математика и придворного астролога Доменико де Клавазио (XIV в.) и бакалавра медицины Никола Шюкё (XV в.), работавшего в Лионе.

Нужно сказать, что средневековым школярам премудрости практической геометрии давались с большим трудом. Чертежи, сопровождающие теоремы, надо было запоминать. Вот это и становилось камнем преткновения для учащихся, которым проще было затвердить наизусть несколько страниц латинского текста, нежели воспроизвести по памяти чертеж. Ведь люди тогда почти не сталкивались в своей жизни с такими понятиями, как план или чертёж, выполненный в масштабе. Как говорят историки, они жили «в мире приблизительности» и вместо измерения и вычерчивания точных геометрических форм довольствовались их словесными описаниями. Чтобы надёжнее запомнить тот или иной чертёж из «Начал» Евклида, ученики придумывали им смешные, запоминающиеся названия вроде «куриной лапы», «ослиного моста» или «хвога павлина» (рис. 1).

Которым проще был Остаётся загадкой, откуда черпали знания по геометрии средневековые архитекторы и строители готических соборов, ведь они, по-видимому, не посещали университетов. Скорее всего секреты зодчих передавались от мастера к ученику и не подлежали разглашению. Очевидно, поэтому от тех времён до нас почти не дошло архитектурных альбомов, которыми так богата последующая эпоха Возрождения. Единственное исключение — чудом уцелевший альбом архитектурных зарисовок, принадлежавший некоему Виллану д’Оннекуру. Он датируется примерно 1235 г. Полторы страшны, испещрены чертежами с подписями на пикардйском диалекте старофранцузского языка, разъясняющими их смысл. Расшифровать «геометрию» Виллана д’Оннекура непросто даже историкам архитектуры.

Братья Николай и Даниил Бернулли

Леонард Эйлер

«Параллелограмм и его свойства»

Конспект урока.

Алгебра 8 класс

Учитель Сысой А.К.

Школа 1828

Тема урока: «Параллелограмм и его свойства»

Тип урока: комбинированный

Цели урока:

1) Обеспечить усвоение нового понятия – параллелограмм и его свойств

2) Продолжить развитие навыков и умений решения геометрических задач;

3) Развитие культуры математической речи

План урока:

1. Организационный момент

(Слайд 1)

На слайде демонстрируется высказывание Льюиса Кэрролла. Ученикам сообщается о цели урока. Проверяется готовность учеников к уроку.

2. Актуализация знаний

(Слайд 2)

На доске задачи для устной работы. Учитель предлагает ученикам подумать над этими задачами и поднять руку тем, кто понял, как задачу решать. После решения двух задач, на доказательство теоремы о сумме углов вызывается к доске ученик, который самостоятельно делает дополнительные построения на чертеже и доказывает устно теорему.

Учениками используется формула суммы углов многоугольника:

3. Основная часть

(Слайд 3)

На доске определение параллелограмма. Учитель говорит о новой фигуре и формулирует определение, делая с помощью чертежа необходимые пояснения. Затем на клетчатой части презентации, с помощью маркера и линейки, показывает, как можно рисовать параллелограмм (возможно несколько случаев)

(Слайд 4)

Учитель формулирует первое свойство параллелограмма. Предлагает ученикам сказать, по рисунку, что дано и что необходимо доказать. После этого на доске появляется дано задачи. Ученики догадываются (может быть при помощи учителя) что искомые равенства надо доказать через равенства треугольников, которые можно получить проведя диагональ (на доске появляется диагональ). Далее ученики догадываются почему треугольники равны и называют признак равенства треугольников (появляется соответствующая форма). Устно сообщают факты, которые необходимы для равенства треугольников (по мере того как они их называют, появляется соответствующая визуализация). Далее ученики формулируют свойство равных треугольников, оно появляется в виде пункта 3 доказательства и затем самостоятельно завершают доказательство теоремы устно.

(Слайд 5)

Учитель формулирует второе свойство параллелограмма. На доске появляется рисунок параллелограмма. Учитель предлагает по рисунку сказать что дано, что необходимо доказать. После того как ученики правильно сообщают о том, что дано и что необходимо доказать, появляется условие теоремы. Ученики догадываются, что равенство частей диагоналей можно доказать через равенство треугольников AOB и COD. С помощью предыдущего свойства параллелограмма догадываются о равенстве сторон AB и CD. Затем понимают, что надо найти равные углы и с помощью свойств параллельных прямых доказывают равенство прилежащих к равным сторонам углов. Данные этапы визуализируются на слайде. Из равенства треугольников следует и истинность теоремы – проговаривают ученики на слайде появляется соответствующая визуализация.

(Слайд 6)

Учитель формулирует третье свойство параллелограмма. В зависимости от времени, которое остаётся до конца урока, учитель может дать возможность ученикам самостоятельно доказать это свойство, или ограничится его формулировкой, а само доказательство оставить ученикам в качестве домашней работы. Доказательство может опираться на сумму углов вписанного многоугольника, которая повторялась в начале урока, или на сумму внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых AD и BC, и секущей, например AB.

4. Закрепление материала

На этом этапе учащиеся, используя ранее изученные теоремы, решают задачи. Идеи к решению задачи подбирают ученики самостоятельно. Так как возможных вариантов оформления немало и все они зависят от того каким образом ученики будут искать решение задачи, визуализации решения задач нет, а ученики самостоятельно оформляют каждый этап решения на отдельной доске с записью решения в тетрадь.

(Слайд 7)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После того, как ученики, верно составят краткую запись условия на доске появляется «Дано». Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

Проведём высоту BH (визуализировано)
Треугольник AHB – прямоугольный. Угол A равен углу C и равен 30⁰(по свойству о противоположных углах в параллелограмме). 2BH=AB (по свойству катета, лежащего напротив угла в 30⁰ в прямоугольном треугольнике). Значит AB = 13 см.
AB = CD, BC = AD (по свойству противоположных сторон в параллелограмме) Значит AB=CD=13см. Так как периметр параллелограмма равен 50 см, то BC=AD=(50 – 26):2=12см.

Ответ: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

Появляется условие задачи. Учитель предлагает по условию сформулировать «Дано». После появляется «Дано» на экране. С помощью красных линий выделяется четырёхугольник, про который нужно доказать, что он параллелограмм. Ход решения задачи может выглядеть следующим образом:

Т.к. BK и MD перпендикуляры к одной прямой, то прямы BK и MD параллельны.
Через смежные углы можно показать, что сумма внутренних односторонних углов при прямых BM и KD и секущей MD равна 180⁰. Поэтому данные прямые параллельны.
Так как у четырехугольника BMDK противоположные стороны попарно параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм.

5. Окончание урока. Поведение итогов.

(Слайд 8)

На слайде появляются вопросы по новой теме, на которые ученики отвечают.

Как нарисовать основные формы геометрии в PowerPoint 2010

опубликованный: 2012-02-29

PowerPoint 2010 имеет формы особенность, которую можно использовать , чтобы рисовать геометрические фигуры легко на любой презентации PowerPoint или шаблон РРТ.

PowerPoint инструменты рисования позволяют легко рисовать геометрические фигуры в школе и классе, но и для других коммерческих целей или какой — либо общей потребности. Чтобы нарисовать геометрические фигуры на вашем PowerPoint слайд, выполните следующие действия:

Перейдите на вкладку Вставка, а затем искать формы. Здесь вы найдете список доступных форм, но сосредоточиться на геометрии форм , которые вы заинтересованы в использовании. Например, здесь вы можете найти прямоугольники (квадрат), эллипсы и круги, треугольники, алмазные формы и многое другое.

Если вы хотите, чтобы сделать идеальный квадрат вы можете использовать форму прямоугольника, а затем, удерживая клавишу SHIFT во время рисования его в слайд-презентации. Это позволит сохранить ширину и высоту пропорций. То же самое относится и к любой другой форме геометрии, которую вы хотите нарисовать.

Вот список фигур, которые можно нарисовать, используя особенность формы PowerPoint:

Квадраты
Прямоугольники
треугольники
Ромб
спираль
ромб
Параллелограмм
шестиугольник
пятиугольник
Любая другая форма

Помимо основных форм геометрии вы можете также рисовать дуги и домыслы в геометрии , как вписанные углы.

Некоторые другие сложные геометрические формы могут быть сделаны, например, вы можете нарисовать многоугольник с помощью опции форму многоугольника, но если вам нужна любая другая форма не отображается в списке, вы можете объединить несколько фигур, используя набор операций, как объединение, пересечение, вычитание.

Как рисуется параллелограмм. Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На следующем рисунке представлен параллелограмм ABCD. У него сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.

Как вы уже успели догадаться, параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим основные свойства параллелограмма.

В этом учебнике основное внимание будет уделено всему, что нам нужно знать об этих пяти инструментах геометрической формы.

Мы можем рисовать векторные фигуры, пути или пиксельные формы. В отличие от пикселей, векторные фигуры гибкие, масштабируемые и независимые от разрешения, что означает, что мы можем нарисовать их любого размера, который нам нравится, редактировать и масштабировать столько, сколько хотим, и даже печатать их любого размера без потери качества! Независимо от того, просматриваем ли мы их на экране или в печати, края векторных фигур всегда остаются четкими и резкими.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны. Докажем это свойство — рассмотрим параллелограмм, представленный на следующем рисунке.

Диагональ BD разделяет его на два равных треугольника: ABD и CBD. Они равны по стороне BD и двум прилежащим к ней углам, так как углы накрест лежащие при секущей BD параллельных прямых BC и AD и AB и CD соответственно. Следовательно, AB = CD и
BC = AD. А из равенства углов 1, 2 ,3 и 4 следует, что угол A = угол1 +угол3 = угол2 + угол4 = угол С.

Чтобы убедиться, что вы рисуете векторные фигуры, а не пути или пиксели, выберите «Форма» из опции «Режим инструмента» на панели параметров в верхней части экрана.

Это открывает окно, которое позволяет нам выбирать из четырех разных способов заполнения фигуры, каждая из которых представлена одним из четырех значков сверху.

Четыре варианта заполнения формы. Как следует из названия, при выборе «Без цвета» слева форма будет полностью пустой. Почему вы хотите оставить пустую фигуру? Ну, в некоторых случаях вы можете захотеть, чтобы ваша фигура содержала только контур удара. Мы увидим, как добавить штрих в несколько мгновений, но если вы хотите, чтобы ваша фигура содержала только штрих, без цвета заливки, выберите «Нет цвета».

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка О есть точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD.

Что такое параллелограмм? Параллелограммом (греч. parallel?grammon, от par?llelos-параллельный и gr?mma — линия), называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Вот краткий пример того, как выглядит форма без цвета заливки. Все, что мы видим, — это основной контур фигуры, известный как путь.

Только путь формы отображается, если для параметра «Заливка» установлено значение «Нет цвета».

Цвета, которые вы недавно использовали, будут отображаться в строке «Недавно использованные цвета» над основными образцами.

Картинка 3 из презентации «Параллелограмм» к урокам геометрии на тему «Геометрические фигуры»

Размеры: 197 х 98 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как…». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Параллелограмм.pptx» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива — 83 КБ.

Скачать презентацию

Геометрические фигуры

«Прямоугольник ромб квадрат» — Правильные ответы к теоретической самостоятельной работе. Теоретическая самостоятельная работа Заполнить таблицу, отметив знаки +(да), -(нет). Ромб. Проверочный тест. Цель урока: Закрепить теоретический материал по теме «Прямоугольник. D. Решение задач на готовых чертежах. Квадрат». Решение задач на тему «Прямоугольник.

Здесь такая же форма заполнена градиентом.

Наконец, выбор опции «Шаблон» позволяет нам заполнить форму шаблоном.

Выбор параметра «Шаблон», затем выбор шаблона предустановки. Если вы не уверены, какой цвет, градиент или узор вам нужны для вашей фигуры, не беспокойтесь.

Добавление обводки вокруг фигуры

Как мы увидим, вы всегда можете вернуться и изменить его позже.

Форма заполнена предустановленным рисунком.

Это открывает окно, в котором мы даем те же самые параметры, которые мы видели с цветом заливки, за исключением того, что на этот раз мы выбираем цвет для нашего штриха. По умолчанию выбрана опция «Нет цвета».

Изменение ширины хода

Чтобы изменить ширину хода, используйте параметр «Ширина обводки» прямо справа от образца цвета «Обводка» на панели параметров.

«Параллелограмм» — Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм. Параллелограмм. Признаки параллелограмма. Что такое параллелограмм? В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если вы посмотрите дальше вправо на панели параметров, вы увидите вариант «Выровнять края».

Для того, чтобы выровнять края, установите ширину хода в пикселях.

Внутренняя часть формы пуста. Похоже, что он заполнен белым только потому, что фон моего документа белый, поэтому то, что мы на самом деле видим, это фон документа.

«Многоугольники 9 класс» — Правильные многоугольники. Правильный многоугольник. n-3. А6. Элементы многоугольника. А3. План урока. А1 А2 , А1 А4 – диагонали многоугольника. Многоугольник. Число диагоналей из одной вершины. Виды ломаных. Выпуклый. А2.

«Урок 2 класс Площадь прямоугольника» — Площадь — ? Л. Формулы. Мы – дружные! Р — ? Выражения с переменной. О. Мы – отлично учимся! 8: а P = (а + b) · 2 4 – х c: 3 P = a + b + a + b P = a · 2 + b · 2 14 + y. А. Ь. Щ. Мы – умные! Мы – внимательные! Ключ. ?. Мы – старательные! Все у нас получится! Эталон для взаимопроверки и взаимоконтроля.

Откроется окно «Параметры обводки». Отсюда мы можем изменить тип удара с сплошной линии на пунктирную или пунктирную линию. Параметр «Выравнивание» позволяет нам выбрать, должен ли штрих попадать внутрь контура пути, вне пути или быть центрированным по пути.

Здесь тот же ход, что и раньше, на этот раз как пунктирная, а не сплошная линия.

Затем держите кнопку мыши нажатой и перетащите по диагонали, чтобы нарисовать остальную форму. Когда вы перетаскиваете, вы увидите только тонкую схему того, как будет выглядеть фигура.

Перетаскивание прямоугольной формы. При перетаскивании появляется только контур фигуры.

«Площадь многоугольника» — 1. Расход краски на единицу площади? 7. 8. Правильно, если: 6,5.3,1,4,7,8,2. Разминка з а д а н и е 2. С. 5. Разминка з а д а н и е 1. Проблема! Цвет (один или несколько)? ?

«Многоугольники» — Солонинкина Т.В. Конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Изобразите простую ломаную. Cоставитель. Эксперт 2. А1 А2 , А1 А4 – диагонали многоугольника. Правильные многоугольники. Ломаная. Простая, замкнутая ломаная, звенья которой не лежат на одной прямой. Есть ли на рисунке простые ломаные?

Изменение размера фигуры после того, как вы ее нарисовали

После того, как вы нарисуете свою первоначальную форму, ее текущие размеры появятся в полях «Ширина и высота» на панели параметров.

Если вам нужно изменить размер фигуры после того, как вы ее нарисовали, просто введите необходимые размеры в полях «Ширина и высота». Например, давайте сказать, что мне действительно нужно, чтобы моя форма была ровно в 500 пикселей в ширину. Все, что мне нужно сделать, это изменить значение ширины на 500 пикселей.

Всего в теме 20 презентаций

Подписаться на еженедельную рассылку eduction.ru

Параллелограмм

(Переход к области параллелограмма или периметру параллелограмма)

Параллелограмм – это плоская фигура, у которой противоположные стороны параллельны и равны по длине.

	Противоположные стороны параллельны
	Противоположные стороны равны по длине
	Противоположные углы равны (углы А одинаковы, а углы В одинаковы)
	Угол A и угол B в сумме дают 180°, поэтому они являются дополнительными углами.

Игра с параллелограммом:

изображения/geom-quad.js?mode=параллелограмм

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы Параллелограммы!

Пример:

Параллелограмм , в котором все углы прямые, является прямоугольником !

Район параллелограмма

Площадь равна основанию , умноженному на высоту :

Площадь = b × h

( ч находится под прямым углом к б )

Пример: параллелограмм имеет основание 6 м и высоту 3 м, какова его площадь?

Площадь = 6 м × 3 м = 18 м ²

Периметр параллелограмма

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр равен 2 раза (длина основания + сторона) :

Периметр = 2(b+s)

Пример: параллелограмм имеет основание 12 см и длину стороны 6 см, каков его периметр?

Периметр = 2 × (12 см + 6 см) = 2 × 18 см = 36 см

Диагонали параллелограмма

Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Другими словами, диагонали пересекаются на полпути.

Внутри любого четырехугольника

И в любом четырехугольнике есть параллелограмм.

9121, 9122, 9123, 9124, 9125, 9126, 9127, 9128, 9129, 9130

Геометрия: Создание параллелограмма: Геометрия: TI Math Nspired

Категория	Описание	Разрешить
Аналитические и эксплуатационные файлы cookie	Эти файлы cookie, в том числе файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам.Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, упрощая поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie	Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами.Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламу, чтобы она лучше соответствовала вашим интересам, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie	Эти файлы cookie помогают определить, кто вы, и сохраняют информацию о вашей деятельности и учетной записи, чтобы обеспечить расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и актуальный опыт на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно. Если вы не разрешите эти файлы cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.
Файлы cookie социальных сетей	Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, связанный с онлайн-социальными сетями, такими как Facebook, Twitter и другие платформы социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо	Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы положили в свою корзину на TI.com, для доступа к безопасным областям сайта TI или для управления настроенными настройки файлов cookie).	Всегда включен

Параллельные прямые, проведенные через диагонали параллелограмма

Одно из доказательств, сделанных Евклидом в его книге «Элементы», где он заложил основы геометрии, заключается в том, что если провести прямые, параллельные сторонам параллелограмма и проходящие через любую точка на диагонали параллелограмма, то два параллелограмма выше и ниже этой диагонали равны по площади.Мы повторим доказательство здесь.

Задача

ABCD — параллелограмм, а DB — одна из его диагоналей. ФХ || AD и EG || ДК . Покажите, что площадь AEKF равна площади HKGC .

Стратегия

Прежде всего отметим, что поскольку EG и FH были проведены параллельно двум парам параллельных сторон (AB и DC, AD и BC соответственно), все четыре четырехугольника AEKF , EDHK, FKGB и HKGC сами по себе являются параллелограммами.

Чтобы найти площадь параллелограмма, обычно нам нужно найти длину стороны и высоту, но здесь ничего из этого не доступно.

Значит, нам нужно использовать другую стратегию. Поскольку нам на самом деле не нужно находить площадь AEKF или HKGC , просто чтобы показать, что они равны, мы попытаемся сделать это, используя другую технику, которую мы использовали в прошлом, в этом уроке или здесь. — вычитание известных областей для получения неизвестных.

Ранее мы показали в процессе доказательства конгруэнтности двух пар противоположных углов параллелограмма, что диагональ параллелограмма делит его пополам на два конгруэнтных треугольника, поэтому площадь Δ ABD такая же, как и площадь Δ BDC .

Но поскольку меньшие четырехугольники EDHK и FKGB сами по себе являются параллелограммами, которые также имеют одну и ту же диагональ, по приведенной выше логике площадь Δ EDK такая же, как площадь Δ KDH . А площадь БФК такая же, как площадь БГК .

Вычитание равных площадей меньших треугольников из равных площадей большего треугольника дает нам площади двух параллелограммов, которые равны.

Доказательство

(1) AD||BC //Дано. ABCD — параллелограмм
(2) AB||DC //Дано. ABCD — параллелограмм
(3) FH || AD // Дано
(4) EG || DC // Дано
(5) EDHK — параллелограмм //(3), (4), определение параллелограмма
(6) FKGB — параллелограмм //(3), (4), определение параллелограмма
(7) Δ EDK ≅ Δ KDH //(5), Диагональ параллелограмма делит его пополам на два конгруэнтных треугольника
(8) Δ BFK ≅ Δ BGK 9 6), Диагональ параллелограмма делит его пополам на два конгруэнтных треугольника
(9) Δ ABD ≅ Δ BDC //(Диагональ параллелограмма делит его пополам на два конгруэнтных треугольника
(10) Площадь(ABD) = Area(BDC) //площади конгруэнтных треугольников равны
(11) Area(BFK)=Area(BGK) //площади конгруэнтных треугольников равны
(12) Area(EDK)=Area(KDH) //площади конгруэнтных треугольников равно
(13) Площадь(ABD)-площадь(BFK)-площадь(EDK)=площадь(BDC)-площадь(BGK)-площадь(KDH) //(10), (11), (12), транзитивные и Свойства вычитания равенства
(14) Площадь (S ₁ ) = Площадь (S ₂ )

900 00 Параллелограмм Коллаж | University of Virginia
Коллаж параллелограмм использует формы и изображения для передачи вещества и энергии. В этом коллаже используются как основная, так и дополнительная цветовая палитра UVA. Это один из стилей коллажей, который можно создать с использованием элементов бренда UVA. Следующие примеры иллюстрируют, как можно использовать этот метод.
Рисунки 1 и 2
Создание коллажей в виде параллелограмм – таких, как на рисунках 1 и 2, – которые отражают бренд университета, требует соблюдения нескольких объединяющих принципов.
Например, используйте различные сюжеты и глубину резкости.Это помогает некоторым изображениям в коллажах выделяться, в то время как другие заполняют пространство, оставляя общий эффект сбалансированным и мощным. Этот эффект можно усилить, используя полноцветные изображения, цветные наложения и элементы дизайна.

Как создать коллаж параллелограмм
Эффекты коллажа параллелограмм можно создавать с помощью различных приложений. В этом шаблоне и следующих инструкциях для него используется InDesign для достижения конечного результата.

1) В InDesign откройте новый документ и создайте параллелограмм. Один из способов сделать это — нарисовать прямоугольник, а затем использовать переменную «Угол сдвига по оси X» (установленную на 45 градусов) на панели управления. Увидеть ниже.

2) Скопируйте и вставьте, чтобы создать больше параллелограммов и трапеций: больших и маленьких, широких и узких.

3) Когда страница будет заполнена, добавьте к фигурам разные цвета из основной и дополнительной цветовых палитр.Убедитесь, что дизайн коллажа кажется сбалансированным, а цвета Jefferson Blue и Rotunda Orange используются на видном месте. Добавление цвета сейчас поможет вам при добавлении наложений и эффектов позже.

4) Затем поместите изображения, которые вы хотите добавить в коллаж, внутрь каждой фигуры, выбрав фигуру, а затем используя Файл > Поместить. Изображение помещается внутрь рамки вашего параллелограмма или трапеции.
5) Продолжайте, пока не заполните изображением каждый параллелограмм и трапецию.Обратите внимание, что в этом дизайне некоторые изображения имеют узкий фокус, в то время как другие имеют более широкий фокус.

6) Теперь, когда изображения коллажа размещены, начните экспериментировать с цветовыми наложениями и эффектами. Вы можете добиться различных цветовых обработок, дважды щелкнув фигуру (при этом выбирается изображение внутри рамки фигуры), а затем открыв «Эффекты». Такие эффекты, как «Экран», «Наложение», «Мягкий свет», «Жесткий свет», «Затемнение цвета» и «Яркость», позволяют фирменным цветам рамки сиять, работая в тандеме с цветом самого изображения.Оставьте некоторые изображения без эффектов, чтобы добавить энергии коллажу.

7) На отдельном слое над первым создайте новые формы параллелограмма случайным образом по всей странице. Также включите элементы дизайна и типографику. Опять же, настройте графику для лучшей работы с фотографиями в сетке и общим дизайном. Переместите графику и, возможно, спрячьте ее внутри и под определенными изображениями. Затем отрегулируйте прозрачность каждого элемента с помощью Эффектов, чтобы графика реагировала на цвет фотографий под ними.
Вы можете использовать этот шаблон для создания собственного коллажа параллелограмм.
открытых учебников | Сиявула
Математика
Наука
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 7А
Класс 7Б
Класс 7 (объединенные А и В)
Африкаанс
Граад 7А
Граад 7Б
Graad 7 (A en B saam)
Пособия для учителей
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 8А
Класс 8Б
Класс 8 (объединенные A и B)
Африкаанс
Граад 8А
Граад 8Б
Graad 8 (A en B saam)
Пособия для учителей
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 9А
Класс 9Б
Класс 9 (объединенные А и В)
Африкаанс
Граад 9А
Граад 9Б
Graad 9 (A en B saam)
Пособия для учителей
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 4А
Класс 4Б
Класс 4 (объединенные А и В)
Африкаанс
Граад 4А
Граад 4Б
Graad 4 (A en B saam)
Пособия для учителей
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 5А
Класс 5Б
Класс 5 (объединенные А и В)
Африкаанс
Граад 5А
Граад 5Б
Graad 5 (A en B saam)
Пособия для учителей
Читать онлайн
Учебники
Английский
Класс 6А
Класс 6Б
Класс 6 (объединенные А и В)
Африкаанс
Граад 6А
Граад 6Б
Graad 6 (A en B saam)
Пособия для учителей
Лицензирование нашей книги
Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий. Вы можете копировать, распечатывать и распространять их столько раз, сколько захотите. Вы можете загрузить их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете каким-либо образом адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, логотипы спонсоров и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Непортированный.
Узнайте здесь больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.
CC-BY (версии без торговой марки)
Эти небрендированные версии одного и того же контента доступны для совместного использования, адаптации, преобразования, изменения или дальнейшего развития любым способом, при единственном требовании — отдать должное Сиявуле. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.
Что такое параллелограмм? [Определение, факты и примеры]
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм – это особый вид четырехугольника, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
На данном рисунке изображен параллелограмм ABCD, у которого AB параллелен CD, а AD параллелен BC.
Кроме того, AD = BC и AB = CD.

Мы также видим много параллелограммных форм и объектов вокруг нас.

Свойства параллелограмма
Противоположные стороны параллелограмма параллельны друг другу.
Здесь, AB ∥ CD и AD ∥ BC

Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.
Здесь AB = CD и AD = BC

Противоположные углы параллелограмма равны по величине.
Здесь угол A = угол C и
угол B = угол D.
Смежные углы параллелограмма в сумме дают 180°
Здесь угол A + угол B = 180°
угол B + угол C = 180°
угол C + угол D = 180°
А = 180°
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Здесь AC и BD делят друг друга пополам.
Типы параллелограмма
Существует три специальных типа параллелограмма.
1. Ромб : Параллелограмм, у которого все стороны равны.
Здесь АВ = ВС = CD = DA. ABCD — ромб.
2. Прямоугольник : Параллелограмм, в котором все углы прямые, а диагонали равны.

Здесь все углы прямые. Диагонали PN и OM равны.
3. Квадрат : Параллелограмм, все стороны которого равны, а все углы равны 90 градусов. Диагонали квадрата также равны.
Здесь все стороны равны и все углы прямые.
Диагонали AC и BD равны.
Интересные факты
Термин «параллелограмм» происходит от среднефранцузского «parallélogramme», позднелатинского «parallelogrammum» и греческого «parallelogrammon», что означает «ограниченный параллельными линиями».

Базовая конструкция GeoGebra 6 – Построение параллелограмма
В этом уроке мы используем инструмент GeoGebra Parallel Line для построения параллелограмма. Чтобы построить параллелограмм, мы сначала построим точки A , B и C . Затем мы используем инструмент Parallel Line, чтобы построить линию, параллельную AB и проходящую через точку C , затем построить другую линию, параллельную BC и проходящую через точку A A Мы используем пересечение двух линий, чтобы определить четвертую вершину нашего параллелограмма.
Рисунок 1
Если вы хотите следовать этому руководству шаг за шагом, щелкните здесь, чтобы открыть окно GeoGebra в вашем браузере.
Откройте GeoGebra и выберите Геометрия в меню Перспективы на боковой панели .
Чтобы отобразить метки новых точек, а не других объектов, щелкните меню Параметры , щелкните Надписи , затем щелкните Только новые точки.
Выберите инструмент New Point и щелкните три разных места на графическом виде , чтобы создать точки A , B и C
Выберите инструмент Отрезок между двумя точками , выберите точку A и выберите точку B для построения сегмента AB . Теперь постройте сегмент BC . Ваш рисунок должен выглядеть так, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2
Теперь построим две прямые: прямую, параллельную AB , проходящую через точку C , и прямую, параллельную BC и проходящую через точку A
6 9. Чтобы построить линию, проходящую через точку C и параллельную AB , выберите инструмент Параллельная линия , выберите отрезок AB и затем щелкните точку 916 .Теперь постройте вторую линию.
Переместите объекты в своей постройке. Что вы наблюдаете? Расследовать.
Далее мы пересекаем две линии. Выберите инструмент Intersect Two Objects , а затем щелкните две линии.
Leave a comment
24.12.1981
Рубрики
Акварель
Графика
Дерево
Зарисовки
Карандашом
Наброски
Основы
Разное
Рисование
Советы
Урок
© Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение гимназия № 1 г.Сочи, 2024

Главная
Карта Сайта

Параллелограмм как рисовать: Как построить параллелограмм. Способ 1

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

Построение сечений в стереометрии

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

Теорема о трех перпендикулярах

Двугранный угол

Симметрия фигур

Призма

Параллелепипед

Пирамида

Правильная пирамида

Формулы для объема и площади пирамиды

Тетраэдр

Прямоугольная пирамида

Усечённая пирамида

Пирамида и шар (сфера)

Пирамида и конус

Пирамида и цилиндр

Сфера и шар

Многогранники и сфера

Объем и площадь поверхности шара

Шаровой сегмент, слой, сектор

Цилиндр

Цилиндр и призма

Цилиндр и сфера

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

Конус

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

Усеченный конус

Конус и сфера

Конус и пирамида

Рабочая тетрадь по геометрии. Геометрические фигуры как учебное пособие для разновозрастных групп

«Параллелограмм и его свойства»

Как нарисовать основные формы геометрии в PowerPoint 2010

Как рисуется параллелограмм. Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Геометрические фигуры

Добавление обводки вокруг фигуры

Изменение ширины хода

Изменение размера фигуры после того, как вы ее нарисовали

Параллелограмм

Пример:

Район параллелограмма

Пример: параллелограмм имеет основание 6 м и высоту 3 м, какова его площадь?

Периметр параллелограмма

Пример: параллелограмм имеет основание 12 см и длину стороны 6 см, каков его периметр?

Диагонали параллелограмма

Внутри любого четырехугольника

Геометрия: Создание параллелограмма: Геометрия: TI Math Nspired

Параллельные прямые, проведенные через диагонали параллелограмма

Задача

Стратегия

Доказательство

Как создать коллаж параллелограмм

открытых учебников | Сиявула

Математика

Наука

Лицензирование нашей книги

CC-BY-ND (фирменные версии)

CC-BY (версии без торговой марки)

Что такое параллелограмм? [Определение, факты и примеры]

А = 180°

Базовая конструкция GeoGebra 6 – Построение параллелограмма

Рубрики